Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-1}}$, calcule:

a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes. (0,5 puntos)

b) Asíntotas verticales y horizontales. (0,5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Es una función racional: quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-1,1\}$

El corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

Para el corte con el eje $OX$ se anula el numerador, que no tiene raíces reales.

$x^2+1=0\Rightarrow \text{sin soluci}\acute{\text{o}}\text{n real}$

La gráfica corta a los ejes solo en $(0,-1)$; no corta al eje $OX$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Las candidatas a asíntota vertical son los puntos que no pertenecen al dominio, donde el numerador vale $2$.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-1}}=1$

Las rectas $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales y la recta $y=1$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(1\text{ punto})$

Se deriva por la regla del cociente y se saca factor común en el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x[(x^2-1)-(x^2+1)]}{(x^2-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el contrario al de $x$. Se hace un estudio de signos añadiendo los puntos que no son del dominio.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,0)$ y decrece en $(0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -4x=0\Rightarrow x=0$

Por el criterio de la primera derivada, en $x=0$ la función pasa de crecer a decrecer.

$f(0)=-1$

La función presenta un máximo local en $(0,-1)$ y no tiene mínimos locales.