Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-4x+4}{x}}$, calcule:
a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)
b) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. (0,5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)
d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

Conviene reescribir la función dividiendo término a término, porque así se deriva y se estudian las asíntotas con más comodidad.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-4x+4}{x}}=x^2-4+{\displaystyle \frac{4}{x}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El único valor que anula el denominador es $x=0$, que además impide el corte con el eje $OY$.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

Para el corte con el eje $OX$ se anula el numerador.

$x^3-4x+4=0$

La ecuación tiene una única raíz real, $x\approx -\mathrm{2,383}$, de modo que la gráfica corta al eje $OX$ en un solo punto y no corta al eje $OY$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hay.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

La candidata a asíntota vertical es el punto que no pertenece al dominio, donde el numerador vale $4$.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{4}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{4}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(x^2-4+{\displaystyle \frac{4}{x}})=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=0$ es asíntota vertical y, al no ser finito el límite en el infinito, no hay asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(1\text{ punto})$

Se deriva la expresión desarrollada y se reduce a común denominador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-4}{x^2}}={\displaystyle \frac{2(x^3-2)}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^3=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}\approx \mathrm{1,26}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $x^3-2$. Se hace un estudio de signos añadiendo $x=0$, que no pertenece al dominio.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\sqrt[3]{2})$ y crece en $(\sqrt[3]{2},+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El único punto crítico es $x=\sqrt[3]{2}$. Se clasifica con la segunda derivada, teniendo en cuenta que allí $x^3=2$.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2+{\displaystyle \frac{8}{x^3}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\sqrt[3]{2}\right)=2+4=6>0$

$f\left(\sqrt[3]{2}\right)=\sqrt[3]{4}-4+{\displaystyle \frac{4}{\sqrt[3]{2}}}=3\sqrt[3]{4}-4$

La función presenta un mínimo local en $(\sqrt[3]{2},3\sqrt[3]{4}-4)\approx (\mathrm{1,26};\mathrm{0,76})$ y no tiene máximos locales.