Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=x^2{e}^x$, calcule:

a) El dominio de la función. (0,5 puntos)

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

c) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

d) Calcule la derivada de la función $f(x)=x^2{e}^x$ en el punto de abscisa $x=1$. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

La función es el producto de un polinomio y de la exponencial, ambos definidos para cualquier número real.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

No hay ningún valor que haya que excluir del dominio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(1\text{ punto})$

Se deriva por la regla del producto y se saca factor común.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+2x)=e^{x}x(x+2)$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada es el de $x(x+2)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-2;x=0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-2,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Por el criterio de la primera derivada, en $x=-2$ la derivada pasa de positiva a negativa y en $x=0$ de negativa a positiva.

$f(-2)=4e^{-2}={\displaystyle \frac{4}{e^2}}\approx \mathrm{0,54};f(0)=0$

La función presenta un máximo local en $(-2,{\displaystyle \frac{4}{e^2}})$ y un mínimo local en el origen $(0,0)$.



Basta valorar en $x=1$ la derivada ya calculada.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=e(1+2)=3e$

La derivada de la función en el punto de abscisa $x=1$ vale $3e\approx \mathrm{8,15}$.