Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{1-x^2}{x^2-4}}$, calcule:
a) El dominio de la función y el punto de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}$

Es una función racional: quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

El corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$ y los cortes con el eje $OX$ anulando el numerador.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}};1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$

La gráfica corta a los ejes en $(0,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$, $(-1,0)$ y $(1,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hay.}}$

Las candidatas a asíntota vertical son los puntos que no pertenecen al dominio, donde el numerador vale $-3$.

${\lim }_{x\to \pm 2}{\displaystyle \frac{1-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-3}{0}}=\mathrm{\infty }$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$

Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales y la recta $y=-1$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}$

Se deriva por la regla del cociente y se simplifica el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-2x(x^2-4)-2x(1-x^2)}{(x^2-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{6x}{(x^2-4{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el de $x$; se anula solo en $x=0$. Se hace un estudio de signos añadiendo los puntos que no son del dominio.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$ y crece en $(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}$

El único punto crítico es $x=0$, donde la derivada pasa de negativa a positiva.

$f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

La función presenta un mínimo local en $(0,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$ y no tiene máximos locales.