Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2,5 puntos) En un terreno en la huerta de Beniel se quieren plantar dos tipos distintos de naranjos: A y B. No se puede cultivar más de 8 hectáreas con naranjos de tipo A ni más de 10 hectáreas con naranjos de tipo B. Cada hectárea de naranjos de tipo A necesita $4{\text{m}}^3$ de agua anuales y cada una de tipo B, $3{\text{m}}^3$. Se dispone anualmente de $45{\text{m}}^3$ de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de $500$ € y cada una de tipo B, $225$ €. Se dispone de $4575$ € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de naranjos de tipo A y B producen, respectivamente, $500$ y $300$ kilos anuales de naranjas:

a) Calcular las hectáreas de cada tipo de naranjo que se deben plantar para maximizar la producción de naranjas. Razone la respuesta.
b) Obtener la producción máxima.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{naranjo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{naranjas.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Llamamos $x$ a las hectáreas de naranjos de tipo A e $y$ a las de tipo B. La función objetivo a maximizar es la producción anual, en kilos.

$P(x,y)=500x+300y$

Cada condición del enunciado se traduce en una inecuación: los máximos de superficie de cada tipo, el agua disponible y el presupuesto, que se simplifica dividiendo entre $25$.

$\{\begin{array}{l}x\le 8\\ y\le 10\\ 4x+3y\le 45\\ 20x+9y\le 183\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$



Los vértices se obtienen cortando dos a dos las rectas frontera; el más laborioso es el corte de las restricciones de agua e inversión.

$\{\begin{array}{l}4x+3y=45\\ 20x+9y=183\end{array}\Rightarrow 8x=48\Rightarrow x=6;y=7$

Los vértices del recinto son $O(0,0)$, $A(8,0)$, $B(8,{\displaystyle \frac{23}{9}})$, $C(6,7)$, $D(\mathrm{3,75};10)$ y $E(0,10)$.

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los seis.

$P(0,0)=0;P(8,0)=4000;P(8,\frac{23}{9})\approx \mathrm{4766,67};P(6,7)=5100$

$P(\mathrm{3,75};10)=4875;P(0,10)=3000$

Se deben plantar $6$ hectáreas de naranjos de tipo A y $7$ de tipo B.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}$

$P(6,7)=500\cdot 6+300\cdot 7=3000+2100=5100$

La producción máxima es de $5100$ kilos de naranjas al año.