Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Cuestión 2. (2,5 puntos) Sea $S$ la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:
$\{\begin{array}{l}x+y\le 10\\ x+2y\ge 8\\ 2\le y\le x+6\\ x\le 6\end{array}$
a) Represente la región $S$ y calcule sus vértices. (2 puntos)
b) Determine el punto de la región factible donde la función $f(x,y)=-x+2y$ alcanza su valor mínimo. Calcule dicho valor. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{S}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}(2\text{ puntos})$

La condición doble $2\le y\le x+6$ equivale a las dos restricciones $y\ge 2$ e $y\le x+6$, de modo que la región queda delimitada por cinco rectas. Se dibuja cada una y se toma el semiplano que cumple la desigualdad.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada esquina.

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ y=2\end{array}\Rightarrow A(4,2);\{\begin{array}{l}y=2\\ x=6\end{array}\Rightarrow B(6,2)$

$\{\begin{array}{l}x=6\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow C(6,4);\{\begin{array}{l}x+y=10\\ y=x+6\end{array}\Rightarrow D(2,8)$

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ y=x+6\end{array}\Rightarrow 3x+12=8\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{4}{3}};y={\displaystyle \frac{14}{3}}$

La región $S$ es el pentágono de vértices $A(4,2)$, $B(6,2)$, $C(6,4)$, $D(2,8)$ y $E(-{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{14}{3}})$.



Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los cinco.

$f(4,2)=0;f(6,2)=-2;f(6,4)=2;f(2,8)=14;f(-\frac{4}{3},\frac{14}{3})={\displaystyle \frac{32}{3}}$

La función objetivo alcanza su mínimo en el vértice $B(6,2)$ y vale $-2$.