Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 3. La producción diaria de una determinada empresa oscila entre 1 y 10 toneladas. El beneficio diario (f), en miles de euros, depende de la producción (x) y su relación puede expresarse como sigue:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a& \text{si }1\le x\le 3\\ 100+10x+bx+x^2& \text{si }3<x\le 10\end{array}$
a) [0.75 puntos] Determina las constantes a y b si se sabe que los días en los que se producen 3 toneladas el beneficio es de 112 miles de euros y que la función es continua en todo su dominio.
b) [1.75 puntos] Considerando los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [1, 10]. Si un día el beneficio ha sido de 100 miles de euros, ¿Cuánta producción se ha producido ese día? ¿Cuál es el beneficio mínimo un día cualquiera? ¿Y el beneficio máximo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{constantes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{112}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cuadernillo oficial define la función como

$f(x)=\{\begin{array}{ll}22+ax,& 1\le x\le 3\\ 100+10x+b{x}^2,& 3<x\le 10\end{array}$

(el texto de arriba la ha transcrito mal en los dos trozos). El primer dato es directo, porque $x=3$ pertenece al primer trozo:

$f(3)=22+3a=112⟹3a=90⟹a=\mathbf{\text{30}}$

Para la continuidad en $x=3$ hay que igualar el límite por la derecha a ese mismo valor:

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=100+30+9b=130+9b=112⟹9b=-18⟹b=\mathbf{\text{-2}}$

En el resto del dominio la función es continua sin más, por estar formada por un polinomio de primer grado y otro de segundo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{[1,}}\mathbf{\text{10].}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cualquiera?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función queda

$f(x)=\{\begin{array}{ll}22+30x,& 1\le x\le 3\\ 100+10x-2x^2,& 3<x\le 10\end{array}$

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{trozo:}}$ una recta de pendiente 30, creciente, que va de $f(1)=52$ hasta $f(3)=112$.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{trozo:}}$ una parábola con las ramas hacia abajo, cuyo vértice está en

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10-4x=0⟹x=\mathrm{2,5}$

que cae fuera del intervalo $(3,10]$. Por tanto, en todo ese tramo la derivada es negativa y la función decrece, desde el 112 del empalme hasta

$f(10)=100+100-200=0$



Para el beneficio de 100 miles de euros hay que resolver la ecuación en cada trozo. En el primero:

$22+30x=100⟹x=\frac{78}{30}=\mathrm{2,6}$

que sí está en $[1,3]$. En el segundo:

$100+10x-2x^2=100⟹2x(5-x)=0⟹x=0\text{ o }x=5$

de las cuales solo $x=5$ pertenece a $(3,10]$. Hay, pues, $\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{producciones}}\mathbf{\text{posibles:}}\mathbf{\text{2,6}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{toneladas}}$.

Los extremos absolutos se buscan entre los extremos del intervalo y los puntos donde la derivada se anula o no existe:

$f(1)=52f(3)=112f(10)=0$

El beneficio $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}$ es de $\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{euros}}$, produciendo 10 toneladas, y el $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}$, de $\mathbf{\text{112}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros}}$, produciendo 3 toneladas. Producir a tope es el peor negocio posible.