Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

Apartado 2. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. B. Cierta empresa tecnológica ofrece servicio de almacenamiento de datos en la nube. Sus ingresos $I$ (en unidades monetarias) dependen de la cantidad de datos almacenados $x$ (en terabytes), siendo $I(x)=400x$, y su función de gastos $G$ (en unidades monetarias) depende también de la cantidad de datos almacenados $x$ (en terabytes), siendo $G(x)=4x^2+100$.

a) Calcula la cantidad de datos que maximiza el beneficio (ingresos menos gastos), e indica cuál es el beneficio máximo que puede obtener la empresa. (1 punto)
b) El ratio ingresos/gastos mide la eficiencia financiera de la empresa. Calcula la cantidad de datos para los cuales la eficiencia financiera de la empresa es máxima, e indica cuál es esa eficiencia máxima. (1,5 puntos)
c) Calcula ${\int }_0^{2}G(x{)}^{2}dx$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{(ingresos}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{gastos),}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El beneficio es ingresos menos gastos:

$B(x)=I(x)-G(x)$

Sustituyendo:

$B(x)=400x-(4x^2+100)=-4x^2+400x-100$

Como es una parábola con coeficiente principal negativo, tiene un máximo en el vértice.

Para una función cuadrática:

$a{x}^2+bx+c$

el vértice se alcanza en:

$x=\frac{-b}{2a}$

En este caso:

$a=-4,b=400$

Por tanto:

$x=\frac{-400}{2(-4)}=50$

La cantidad de datos que maximiza el beneficio es:

$x=50\text{ TB}$

Calculamos el beneficio máximo:

$B(50)=-4\cdot {50}^2+400\cdot 50-100=-10000+20000-100=9900$

Por tanto, el beneficio máximo es:

$B_{\max }=9900$ unidades monetarias.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{eficiencia}}\mathbf{\text{financiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima,}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{eficiencia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La eficiencia financiera viene dada por el ratio ingresos/gastos:

$E(x)=\frac{I(x)}{G(x)}$

Sustituyendo:

$E(x)=\frac{400x}{4x^2+100}$

Simplificamos dividiendo por 4 numerador y denominador:

$E(x)=\frac{100x}{x^2+25}$

Para maximizar esta función, derivamos:

$E^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{100(x^2+25)-100x\cdot 2x}{(x^2+25{)}^2}=\frac{100x^2+2500-200x^2}{(x^2+25{)}^2}=\frac{2500-100x^2}{(x^2+25{)}^2}$

Igualamos a cero:

$2500-100x^2=0$

$100x^2=2500$

$x^2=25$

$x=5$

Tomamos $x=5$ porque la cantidad de datos no puede ser negativa.

Por tanto, la eficiencia financiera máxima se alcanza para:

$x=5\text{ TB}$

Calculamos dicha eficiencia:

$E(5)=\frac{100\cdot 5}{5^2+25}=\frac{500}{50}=10$

Por tanto, la eficiencia máxima es:

$E_{\max }=10$



Tenemos:

$G(x)=4x^2+100$

Por tanto:

$G(x{)}^2=(4x^2+100{)}^2$

Usamos la identidad:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Entonces:

$(4x^2+100{)}^2=16x^4+800x^2+10000$

Calculamos la integral:

${\int }_0^{2}G(x{)}^{2}dx={\int }_0^2(16x^4+800x^2+10000)dx={[\frac{16x^5}{5}+\frac{800x^3}{3}+10000x]}_0^2$

Sustituyendo:

$=\frac{16\cdot 2^5}{5}+\frac{800\cdot 2^3}{3}+10000\cdot 2=\frac{512}{5}+\frac{6400}{3}+20000=\frac{1536+32000+300000}{15}=\frac{333536}{15}$

${\int }_0^{2}G(x{)}^{2}dx=\mathrm{22235,73}$