Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

3. Una empresa ingresa 500 miles de euros por cada tonelada de producto que vende. En cuanto a costes, tiene unos costes de producción, entre mano de obra y materia prima, de 250 miles de euros por cada tonelada que produce. Además, cada año debe pagar como impuestos el $x\mathrm{\%}$ de sus ingresos, si ha vendido x toneladas de producto. Por último, la empresa tiene unos costes fijos anuales de 1125 miles de euros. Si r representa los beneficios (ingresos - costes) anuales, la producción máxima anual es de 40 toneladas y esta empresa vende cada año todo lo que produce, se pide:
a) [1,75 puntos] Obtener la expresión de la función r en función de x. Estudiar y representar gráficamente la función r en el intervalo [0, 40].
b) [0,75 puntos] ¿Qué cantidad debe producir en un año para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Qué cantidad hay que producir en un año para que el beneficio sea positivo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{r}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x.}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{r}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{[0,}}\mathbf{\text{40].}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se van escribiendo los cuatro conceptos, todos en miles de euros, para $x$ toneladas producidas y vendidas:

$\text{ingresos}=500x\text{coste de producci}\acute{\text{o}}\text{n}=250x\text{costes fijos}=1125$

Los impuestos son el $x\mathrm{\%}$ de los ingresos, es decir,

$\frac{x}{100}\cdot 500x=5x^2$

Restando todo de los ingresos:

$r(x)=500x-250x-5x^2-1125=-5x^2+250x-1125$

Es una parábola con las ramas hacia abajo.

$\mathbf{\text{V}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice:}}{r}^{\mathrm{\prime }}(x)=-10x+250=0⟹x=25r(25)=-3125+6250-1125=2000$

Crece en $(0,25)$ y decrece en $(25,40)$.

$\mathbf{\text{Cortes:}}-5x^2+250x-1125=0⟹x^2-50x+225=0⟹x={\displaystyle \frac{50\pm 40}{2}}$

es decir, $x=5$ y $x=45$. En los extremos del intervalo, $r(0)=-1125$ (solo se pagan los costes fijos) y $r(40)=-8000+10000-1125=875$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{positivo?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El máximo es el vértice de la parábola, que además cae dentro del intervalo permitido: hay que producir $\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{toneladas}}$, y el beneficio asciende a $\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{miles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros}}$, es decir, dos millones de euros.

El beneficio es positivo entre las dos raíces, en $(5,45)$. Pero la producción máxima es de 40 toneladas, así que dentro de lo posible la respuesta es

$5<x\le 40$

Hay que producir $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{toneladas}}$: por debajo de esa cantidad los ingresos no cubren los costes fijos. Nótese que el tope de 40 toneladas no llega a hacer que el beneficio vuelva a ser negativo, porque la segunda raíz (45 toneladas) queda fuera de lo que la empresa puede producir.