Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

B.2. [hasta 2,5 puntos]
El coste de producción de una empresa, $f(x)$, medido en miles de euros, depende de la cantidad de producto fabricada, $x$, medida en toneladas:
$f(x)=30-9x+6x^2-x^3$
La capacidad de producción máxima es de 2 toneladas.

a) [1,25 puntos] Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de coste de producción de la empresa.
b) [0,75 puntos] Determina la cantidad que la empresa debe producir para minimizar el coste de producción. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?
c) [0,5 puntos] ¿Con qué cantidad alcanza la empresa su máximo coste de producción? Determinar dicho coste máximo.

La capacidad de producción limita la variable, de modo que el estudio se hace sobre el intervalo cerrado $[0,2]$ y no sobre toda la recta real.

$f(x)=30-9x+6x^2-x^3,0\le x\le 2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-9+12x-3x^2=-3(x^2-4x+3)=-3(x-1)(x-3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}$

Se buscan los puntos que anulan la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Se descarta $x=3$ por quedar fuera del dominio, ya que la capacidad máxima es de $2$ toneladas. El único punto crítico del intervalo es $x=1$, y basta evaluar la derivada a un lado y a otro.

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=-9<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=-9+24-12=3>0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}& (0,1)& (1,2)\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +\\ f(x)& \searrow & \nearrow \end{array}$

El coste de producción decrece en el intervalo $(0,1)$ y crece en el intervalo $(1,2)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}$

Del estudio de signos se deduce que en $x=1$ la derivada pasa de negativa a positiva, de modo que ahí hay un mínimo. Se confirma con la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12-6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}$

$f(1)=30-9+6-1=26$

La empresa debe producir $1$ tonelada para minimizar el coste, y ese coste mínimo es de $26$ miles de euros, es decir, $26000$ euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}$

Como dentro del intervalo la función solo tiene un mínimo, el máximo absoluto tiene que estar en uno de los dos extremos. Se comparan los dos valores.

$f(0)=30$

$f(2)=30-18+24-8=28$

$30>28$

El coste máximo se alcanza sin producir nada, es decir, con $x=0$ toneladas, y vale $30$ miles de euros, o sea $30000$ euros. Son los costes fijos de la empresa, que existen aunque la producción sea nula.