Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 4. Análisis.
Una fábrica produce un artículo de pesca deportiva y vende cada unidad a un precio $P(x)$ (en euros) que depende del número total de unidades producidas $x$:
$P(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{20}}+x+55,0\le x\le 30\mathrm{.}$
Se sabe que la producción de $x$ unidades supone un coste fijo de 80 euros más un coste variable de 11,25 euros por unidad.

a) Calcule las expresiones de las funciones de coste, ingreso y beneficio.
b) ¿Cómo debe planificarse la producción para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Cuál sería el precio de venta por unidad en ese caso?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{expresiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coste,}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{beneficio.}}$

El coste tiene una parte fija y otra proporcional al número de unidades:

$C(x)=80+\mathrm{11,25}x$

El ingreso es el número de unidades por el precio de cada una:

$I(x)=x\cdot P(x)=x(-{\displaystyle \frac{x^2}{20}}+x+55)=-{\displaystyle \frac{x^3}{20}}+x^2+55x$

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste:

$B(x)=I(x)-C(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{20}}+x^2+55x-80-\mathrm{11,25}x$

$B(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{20}}+x^2+\mathrm{43,75}x-80,0\le x\le 30$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{planificarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}$

Derivamos la función beneficio e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{3x^2}{20}}+2x+\mathrm{43,75}$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -3x^2+40x+875=0\Rightarrow 3x^2-40x-875=0$

$x={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{1600+10500}}{6}}={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{12100}}{6}}={\displaystyle \frac{40\pm 110}{6}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=25\\ x=-\frac{35}{3}\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio. Comprobamos con la segunda derivada que $x=25$ es un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{3x}{10}}+2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(25)=-\mathrm{7,5}+2=-\mathrm{5,5}<0$

$B(25)=-{\displaystyle \frac{15625}{20}}+625+\mathrm{43,75}\cdot 25-80=-\mathrm{781,25}+625+\mathrm{1093,75}-80=\mathrm{857,5}$

$P(25)=-{\displaystyle \frac{625}{20}}+25+55=-\mathrm{31,25}+80=\mathrm{48,75}$

La producción debe planificarse en 25 unidades; con ellas el beneficio es máximo y asciende a 857,50 euros, y el precio de venta por unidad sería de 48,75 euros.