Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

La temperatura de una bodega oscila entre los 6 y los 14 grados y la cantidad de vino que se estropea, $C(x)$ en litros, depende de su temperatura de conservación, $x$ en grados, de acuerdo con la siguiente función:

$C(x)=1000-231x+27x^2-x^{3}6\le x\le 14$

Determine, razonando las respuestas:

a) El crecimiento y decrecimiento de la cantidad de vino que se estropea dependiendo de la temperatura de conservación. [1,5 puntos]

b) Las temperaturas de la bodega que hacen que se estropee la cantidad máxima y mínima de vino y los valores de estas cantidades. [1 punto]

c) La diferencia, en cuanto a cantidad de vino estropeada, entre mantener la bodega a 8 y a 10 grados. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estropea}}\mathbf{\text{dependiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conservaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El crecimiento de una función derivable lo da el signo de su derivada, así que se deriva $C(x)$ y se buscan sus puntos críticos dentro del rango de temperaturas de la bodega.

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=-231+54x-3x^2=-3(x^2-18x+77)$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{324-308}}{2}}={\displaystyle \frac{18\pm 4}{2}}\Rightarrow x_1=7,x_2=11$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[6,14]$. Se estudia el signo de $C^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(x-7)(x-11)$ en cada tramo.

$C^{\mathrm{\prime }}(6)=-3(-1)(-5)=-15<0C^{\mathrm{\prime }}(9)=-3(2)(-2)=12>0C^{\mathrm{\prime }}(12)=-3(5)(1)=-15<0$



La cantidad de vino estropeado decrece en $[6,7)\cup (11,14]$ y crece en $(7,11)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{temperaturas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bodega}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estropee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{cantidades.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como la temperatura recorre un intervalo cerrado, los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$C(6)=1000-1386+972-216=370$

$C(7)=1000-1617+1323-343=363$

$C(11)=1000-2541+3267-1331=395$

$C(14)=1000-3234+5292-2744=314$

Por el estudio del signo, en $x=7$ hay un mínimo relativo y en $x=11$ un máximo relativo. Comparando los cuatro valores, el mayor es 395 y el menor 314.

La cantidad máxima de vino estropeado, 395 litros, se produce a 11 grados; la mínima, 314 litros, a 14 grados.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuanto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{estropeada,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{mantener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bodega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{grados.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se evalúa la función en las dos temperaturas y se restan los resultados.

$C(8)=1000-1848+1728-512=368$

$C(10)=1000-2310+2700-1000=390$

$C(10)-C(8)=390-368=22$

A 10 grados se estropean 22 litros de vino más que a 8 grados, lo que era de esperar porque entre esas dos temperaturas la función es creciente.