Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

La sesión bursátil dura 8 horas de forma ininterrumpida. La cotización (en euros) de cada acción de una determinada empresa en bolsa, $C(t)$, depende del tiempo transcurrido desde que se inició la sesión bursátil, $t$ en horas, de acuerdo con la función:

$C(t)=200-63t+15t^2-t^{3}0\le t\le 8$

Calcule:

a) Los valores de cotización de cada acción al inicio y al término de la sesión bursátil. [0,5 puntos]

b) Los instantes en los que la acción alcanza su cotización máxima y mínima y los valores máximo y mínimo que alcanza la acción. [1,75 puntos]

c) Los intervalos de tiempo donde la cotización de la acción crece y en los que decrece. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cotizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rmino}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{burs}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{til.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta evaluar la función en los dos extremos del intervalo, que son el comienzo y el final de la sesión.

$C(0)=200-0+0-0=200$

$C(8)=200-63\cdot 8+15\cdot 8^2-8^3=200-504+960-512=144$

La acción abre la sesión a 200 euros y la cierra a 144 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{instantes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{cotizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los extremos de una función derivable en un intervalo cerrado están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo, así que se deriva y se anula la derivada.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=-63+30t-3t^2=-3(t^2-10t+21)$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100-84}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 4}{2}}\Rightarrow t_1=3,t_2=7$

Los dos valores están dentro de $[0,8]$. Se evalúa la cotización en ellos.

$C(3)=200-189+135-27=119$

$C(7)=200-441+735-343=151$

Junto con los valores del apartado anterior, $C(0)=200$ y $C(8)=144$, se comparan los cuatro:

$119<144<151<200$

La cotización máxima es de 200 euros y se alcanza en $t=0$, al abrir la sesión; la mínima es de 119 euros y se alcanza en $t=3$, tres horas después de la apertura. Dentro de la sesión hay además un máximo relativo de 151 euros en $t=7$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cotizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{crece}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{decrece.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se estudia el signo de la derivada, que ya está factorizada como $C^{\mathrm{\prime }}(t)=-3(t-3)(t-7)$, en los tres tramos que determinan sus raíces.

$C^{\mathrm{\prime }}(1)=-3(1-3)(1-7)=-36<0C^{\mathrm{\prime }}(5)=-3(5-3)(5-7)=12>0C^{\mathrm{\prime }}(8)=-3(8-3)(8-7)=-15<0$



La cotización decrece en $[0,3)\cup (7,8]$ y crece en $(3,7)$, lo que confirma el mínimo relativo de $t=3$ y el máximo relativo de $t=7$.