Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Julián dispone de 10 hectáreas de terreno para cultivar dos variedades de uva: tempranillo y viura. El beneficio que le produce una hectárea de tempranillo es de 2 mil euros y la de viura 3 mil euros. Dispone de 180 kg de productos fitosanitarios; una hectárea de tempranillo precisa de 10 kg de estos productos y una hectárea de viura 20. Vendimiar una hectárea de tempranillo le cuesta 20 horas y una de viura 10 horas; dispone de un total de 160 horas de trabajo de vendimiadores.

i) ¿Cómo puede distribuir Julián el cultivo de sus 10 hectáreas respetando sus restricciones? Dibuja en el plano la región factible que represente los posibles repartos. (1,25 puntos)
ii) Escribe la función que representa el beneficio que obtiene Julián. ¿Con qué distribución obtiene el máximo beneficio? Calcula dicho máximo. (1,25 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{distribuir}}\mathbf{\text{Juli}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cultivo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{respetando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{restricciones?}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{repartos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se llama $x$ al número de hectáreas de tempranillo e $y$ al de viura. Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Hect}\acute{\text{a}}\text{reas}$	$\text{Fitosanitarios (kg)}$	$\text{Horas de vendimia}$
Tempranillo $(x)$	$x$	$10x$	$20x$
Viura $(y)$	$y$	$20y$	$10y$
Disponible	$10$	$180$	$160$

Las restricciones son, por tanto,

$\{\begin{array}{l}x+y\le 10\\ 10x+20y\le 180\\ 20x+10y\le 160\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

que simplificando las dos últimas quedan

$x+2y\le 18;2x+y\le 16$

El origen cumple las tres desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen. La región factible es el pentágono coloreado en azul.



Sus vértices son los cortes de las rectas frontera dos a dos:

$\{\begin{array}{l}y=0\\ 2x+y=16\end{array}\Rightarrow A(8,0);\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=18\end{array}\Rightarrow D(0,9)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=16\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow x=6\Rightarrow B(6,4)$

$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x+2y=18\end{array}\Rightarrow y=8\Rightarrow C(2,8)$

Julián puede repartir sus hectáreas de cualquier manera representada por un punto de esa región: junto con el origen, los vértices son $A(8,0)$, $B(6,4)$, $C(2,8)$ y $D(0,9)$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{Juli}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cada hectárea de tempranillo aporta 2 mil euros y cada una de viura 3 mil, de modo que la función objetivo, en miles de euros, es

$B(x,y)=2x+3y$

La región es acotada y la función lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cinco:

$B(0,0)=0;B(8,0)=16;B(6,4)=12+12=24$

$B(2,8)=4+24=28;B(0,9)=27$

Julián obtiene el máximo beneficio dedicando 2 hectáreas a tempranillo y 8 a viura, con lo que gana 28 mil euros. Con ese reparto usa las 10 hectáreas y los 180 kilos de fitosanitarios, y le sobran horas de vendimia.