Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa organiza excursiones nocturnas a las Cañadas del Teide para observar el cielo. Atendiendo a las condiciones de su flota de guaguas y al personal disponible, la empresa ofrece dos tipos de excursiones: el tipo A, con 75 plazas básicas (solo transporte) y 100 plazas "estrella" (con un guía especializado en astronomía), y el tipo B, también con 75 plazas básicas y solo 50 plazas estrella. El beneficio que reporta cada tipo de excursión es de 240€ para las del tipo A y de 180€ para las del tipo B. Para la campaña de verano se pueden ofertar, como mucho, un total de 3750 plazas básicas y 4000 plazas estrella. Asimismo, de acuerdo con la experiencia de otros años, el número de excursiones tipo A debe ser menor o igual que el doble de excursiones del tipo B. La empresa desea maximizar su beneficio.

a) Plantear el problema de programación lineal correspondiente. [1 punto]

b) Representa la región factible y determina cuántas excursiones del tipo A y cuántas del tipo B deberían hacerse para obtener el beneficio máximo. [1,5 puntos]

c) Supongamos que finalmente se realizan 28 excursiones del tipo A y 14 del tipo B, y que con respecto a la previsión inicial el beneficio que reporta cada tipo de excursión se incrementa en un 10% para las del tipo A y en un 15% para las del tipo B. ¿Cuál es el beneficio final que obtiene la empresa en este caso? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{correspondiente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos:

$x\equiv$ número de excursiones del tipo A

$y\equiv$ número de excursiones del tipo B

Cada excursión, sea del tipo que sea, ofrece 75 plazas básicas, y no puede ofertarse un total de más de 3750.

$75x+75y\le 3750\Rightarrow x+y\le 50$

Las plazas estrella son 100 en las del tipo A y 50 en las del tipo B, con un tope de 4000.

$100x+50y\le 4000\Rightarrow 2x+y\le 80$

La experiencia de otros años impone que las del tipo A no pasen del doble de las del tipo B, y las dos variables son cantidades de excursiones, luego no pueden ser negativas.

$x\le 2y,x\ge 0,y\ge 0$

La función objetivo es el beneficio, que hay que maximizar.

$Z(x,y)=240x+180y$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{excursiones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{hacerse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada restricción se dibuja como una recta y se sombrea el semiplano que la cumple; la región factible es la intersección de todos ellos.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada esquina:

$\begin{array}{r}x=2y\\ 2x+y=80\end{array}\}\Rightarrow 5y=80\Rightarrow C(32,16)$

$\begin{array}{r}2x+y=80\\ x+y=50\end{array}\}\Rightarrow x=30\Rightarrow B(30,20)$

Los otros dos vértices son el origen $O(0,0)$ y el punto $A(0,50)$ en el que la recta $x+y=50$ corta al eje de ordenadas. Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de ellos, así que basta evaluar la función objetivo en los cuatro.

$Z(0,0)=0$

$Z(32,16)=240\cdot 32+180\cdot 16=7680+2880=10560$

$Z(30,20)=240\cdot 30+180\cdot 20=7200+3600=10800$

$Z(0,50)=180\cdot 50=9000$

El beneficio máximo se obtiene en el vértice $B(30,20)$: la empresa debería programar 30 excursiones del tipo A y 20 del tipo B, con un beneficio de $10800\text{ €}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{finalmente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{28}}\mathbf{\text{excursiones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{14}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{previsi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{reporta}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{excursi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se actualizan los dos beneficios unitarios con sus respectivos incrementos.

$240\cdot \mathrm{1,10}=264\text{ € },180\cdot \mathrm{1,15}=207\text{ €}$

$Z=264\cdot 28+207\cdot 14=7392+2898=10290$

La empresa obtiene un beneficio final de $10290\text{ €}$. Pese a la subida de los beneficios unitarios, la cifra queda por debajo de los $10800\text{ €}$ del apartado anterior, porque el reparto elegido no es el óptimo: se programan menos excursiones de las que permitían las plazas disponibles.