Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Problema 2.

Un vendedor dispone de café colombiano y café brasileño, y con ellos realiza mezclas que pone a la venta. Si mezcla a partes iguales los dos tipos de café, obtiene una mezcla que vende a 15 euros el kilo; si la proporción en la mezcla es de una parte de café colombiano por tres partes de café brasileño, vende la mezcla resultante a 10 euros el kilo. El vendedor dispone de 100 kilos de café colombiano y de 210 kilos de café brasileño. Desea hacer las dos mezclas de modo que sus ingresos por venta sean máximos.

a) Halla cuántos kilos de cada mezcla debe producir para obtener el ingreso máximo. (8 puntos)
b) ¿Cuál es dicho ingreso máximo? (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{vendedor}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{colombiano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{brasile}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{mezclas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pone}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partes}}\mathbf{\text{iguales}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{tipos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{kilo;}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{colombiano}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{partes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{brasile}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{resultante}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{kilo.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vendedor}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{colombiano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{210}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{brasile}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{Desea}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{mezclas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{modo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{(8}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Llamamos $x$ al número de kilos de mezcla a partes iguales e $y$ a los kilos de mezcla 1 a 3.
Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio:

$$	$\text{Kilos caf}\acute{\text{e}}\text{ colombiano}$	$\text{Kilos caf}\acute{\text{e}}\text{ brasile}\tilde{\text{n}}\text{o}$	$\text{Ingresos}$
Nº kilos a iguales (x)	x/4	x/2	15x
Nº kilos 1 a 3 (y)	y/4	3y/4	10y
Totales	x/2 + y/4	x/2 + 3y/4	15x+10y

La función objetivo que deseamos maximizar es:
$f(x,y)=15x+10y$

Las restricciones del problema son:
$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}\le 100\Rightarrow 2x+y\le 400$
$\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}\le 210\Rightarrow 2x+3y\le 840$
$x\ge 0;y\ge 0$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$2x+y=400\Rightarrow y=400-2x$ Cortes con los ejes:$\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=400\\ y=0\Rightarrow x=200\end{array}$

$2x+3y=840\Rightarrow y=\frac{840-2x}{3}$ Cortes con los ejes: $\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=280\\ y=0\Rightarrow x=420\end{array}$

Además: $x\ge 0;y\ge 0\Rightarrow \text{primer cuadrante}$

Como las restricciones son
$2x+y\le 400$
$2x+3y\le 840$

Comprobamos que el punto $P(100,100)$ pertenece a esta región, ya que cumple todas las restricciones:
$2\cdot 100+100=300\le 400$
$2\cdot 100+3\cdot 100=500\le 840$

La región factible es la del primer cuadrante que está por debajo de las rectas roja y azul. Coloreamos la región factible en el siguiente dibujo.




$2x+y=400$

$x$	$y=400-2x$
0	400
90	220
200	0

$2x+3y=840$

$x$	$y={\displaystyle \frac{840-2x}{3}}$
0	280
90	220
420	0

$x\ge 0;y\ge 0$
Primer cuadrante










Obtenemos las coordenadas del vértice $C$ resolviendo el sistema de ecuaciones:$\{\begin{array}{l}2x+3y=840\\ 2x+y=400\end{array}$

Restando ambas ecuaciones:$(2x+3y)-(2x+y)=840-400\Rightarrow 2y=440\Rightarrow y=220$

Sustituyendo en $2x+y=400$:$2x+220=400\Rightarrow 2x=180\Rightarrow x=90$

Por tanto: $C=(90,220)$

Valoramos la función $f(x,y)=15x+10y$ en cada vértice para hallar el valor máximo:

$A(0,0)\Rightarrow f(0,0)=0$
$B(0,280)\Rightarrow f(0,280)=2800$
$C(90,220)\Rightarrow f(90,220)=1350+2200=3550(\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo})$
$D(200,0)\Rightarrow f(200,0)=3000$

Conclusión:Los ingresos máximos son de 3550 y se producen en el vértice C(90,220).
Con 90 Kilos de café mezclado a partes iguales y 220 kilos del café mezclado a 1 a3 se satisfacen las restricciones con unos ingresos máximos de 3550 €

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los ingresos máximos son $3550,\text{€}$ y se producen en el vértice $C=(90,220)$.