Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.2. (2 puntos)

Una entrenadora personal debe diseñar una rutina para un cliente con una duración entre 45 y 60 minutos repartidos entre ejercicios de fuerza y cardiovasculares. El tiempo dedicado a los ejercicios de fuerza no puede superar al de los cardiovasculares, aunque el tiempo dedicado a los ejercicios de fuerza debe ser de al menos 20 minutos. La entrenadora considera que para su cliente el beneficio de un minuto cardiovascular es doble que un minuto de fuerza. ¿Qué duración de cada tipo de ejercicios resulta más beneficiosa para su cliente en la rutina programada? ¿Y la menos beneficiosa?

$\mathbf{\text{B.2.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ejercicios}}\mathbf{\text{resulta}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{beneficiosa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{rutina}}\mathbf{\text{programada?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{beneficiosa?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ a los minutos de ejercicios de fuerza e $y$ a los de cardiovasculares. Como un minuto cardiovascular vale el doble que uno de fuerza, la función objetivo es:

$B(x,y)=x+2y$

La rutina dura entre 45 y 60 minutos, la fuerza no supera a los cardiovasculares y ha de ser de al menos 20 minutos.

$\{\begin{array}{l}45\le x+y\le 60\\ x\le y\\ x\ge 20\end{array}$

Los vértices salen de resolver los sistemas que forman cada dos rectas frontera consecutivas.

$\{\begin{array}{l}x=20\\ x+y=60\end{array}\Rightarrow A(20,40)$

$\{\begin{array}{l}x+y=60\\ y=x\end{array}\Rightarrow B(30,30)$

$\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=45\end{array}\Rightarrow D(\mathrm{22,5};\mathrm{22,5})$

$\{\begin{array}{l}x+y=45\\ x=20\end{array}\Rightarrow C(20,25)$



La región es cerrada y acotada y la función objetivo es lineal, así que los extremos se alcanzan en vértices. Basta evaluarla en los cuatro.

$B(20,40)=20+80=100$

$B(30,30)=30+60=90$

$B(20,25)=20+50=70$

$B(\mathrm{22,5};\mathrm{22,5})=\mathrm{22,5}+45=\mathrm{67,5}$

La rutina más beneficiosa dedica 20 minutos a ejercicios de fuerza y 40 a cardiovasculares; la menos beneficiosa reparte 22,5 minutos a cada tipo.