Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Un distribuidor de software informático, tiene entre sus clientes a empresas y a particulares. Al finalizar el año debe conseguir al menos 25 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Además, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Finalmente, cada empresa produce 386 euros de ingresos anuales, mientras que cada particular 229 euros.

a) Plantee el problema para maximizar los ingresos.
b) Represente gráficamente el conjunto de soluciones.
c) ¿Cuál de esas soluciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos.}}$

Llamamos $x$ al número de empresas e $y$ al número de particulares que consigue como clientes al finalizar el año.

La función que hay que maximizar es el ingreso anual:

$f(x,y)=386x+229y$

Las restricciones traducen las tres condiciones del enunciado:

Al menos 25 empresas $\Rightarrow$ $x\ge 25$.

Los particulares deben ser como mínimo el doble que las empresas $\Rightarrow$ $y\ge 2x$.

El límite global es de 120 clientes anuales $\Rightarrow$ $x+y\le 120$.

$\{\begin{array}{l}x\ge 25\\ y\ge 2x\\ x+y\le 120\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}$

El conjunto de soluciones es el triángulo coloreado en azul.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=25\\ y=2x\end{array}\Rightarrow y=50\Rightarrow A(25,50)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ x+y=120\end{array}\Rightarrow x+2x=120\Rightarrow x=40\Rightarrow y=80\Rightarrow B(40,80)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=25\\ x+y=120\end{array}\Rightarrow y=95\Rightarrow C(25,95)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{proporcionar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{mayores}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{finalizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{ingresos?}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo se alcanza en alguno de los vértices.

$f(25,50)=386\cdot 25+229\cdot 50=9650+11450=21100$

$f(40,80)=386\cdot 40+229\cdot 80=15440+18320=33760$

$f(25,95)=386\cdot 25+229\cdot 95=9650+21755=31405$

Los mayores ingresos se consiguen con 40 empresas y 80 particulares como clientes, y ascenderían a 33.760 euros anuales.