Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Una empresa fabrica teléfonos móviles con la misma pantalla en dos calidades distintas: calidad A, carcasa de plástico y calidad ${\mathrm{A}}^{+}$ carcasa de aluminio. El coste unitario de producción es de 70 € para los teléfonos de calidad A y de 90 € para los de calidad ${\mathrm{A}}^{+}$. Los precios de venta son de 100 € para los de clase A y de 150 € para los de clase ${\mathrm{A}}^{+}$. Si para fabricar la próxima remesa de móviles, la empresa dispone de un capital de 30.000 euros y su proveedor de componentes es capaz de suministrarle, como máximo, 350 pantallas (que se usan para ambas clases de móviles) y 310 carcasas de aluminio.

a) Plantee el problema que determina el número de teléfonos móviles de cada calidad que se deben fabricar para maximizar el beneficio.
b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
c) Determine una solución óptima y halle el valor óptimo de la función objetivo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fonos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{viles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{calidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio.}}$

Llamamos $x$ al número de teléfonos de calidad A e $y$ al de calidad ${\mathrm{A}}^{+}$.

El beneficio de cada teléfono es la diferencia entre su precio de venta y su coste de producción: $100-70=30$ euros para los de calidad A y $150-90=60$ euros para los de calidad ${\mathrm{A}}^{+}$. La función que hay que maximizar es

$f(x,y)=30x+60y$

Las restricciones traducen los tres límites del enunciado:

El capital disponible es de 30.000 euros $\Rightarrow$ $70x+90y\le 30000$.

El proveedor suministra como máximo 350 pantallas, que llevan las dos clases $\Rightarrow$ $x+y\le 350$.

El proveedor suministra como máximo 310 carcasas de aluminio, que solo llevan los de calidad ${\mathrm{A}}^{+}$ $\Rightarrow$ $y\le 310$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}70x+90y\le 30000\\ x+y\le 350\\ y\le 310\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Resolvemos los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada vértice.

Vértice $O(0,0)$: corte de los dos ejes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=310\end{array}\Rightarrow A(0,310)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=310\\ 70x+90y=30000\end{array}\Rightarrow 70x+27900=30000\Rightarrow x=30\Rightarrow B(30,310)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}70x+90y=30000\\ x+y=350\end{array}\Rightarrow x=350-y\Rightarrow 70(350-y)+90y=30000$

$24500+20y=30000\Rightarrow y=275\Rightarrow x=75\Rightarrow C(75,275)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+y=350\\ y=0\end{array}\Rightarrow E(350,0)$

Los vértices son $O(0,0)$, $A(0,310)$, $B(30,310)$, $C(75,275)$ y $E(350,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo.}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que valoramos ahí la función objetivo.

$f(0,0)=0$

$f(0,310)=60\cdot 310=18600$

$f(30,310)=30\cdot 30+60\cdot 310=900+18600=19500$

$f(75,275)=30\cdot 75+60\cdot 275=2250+16500=18750$

$f(350,0)=30\cdot 350=10500$

La solución óptima es fabricar 30 teléfonos de calidad A y 310 de calidad ${\mathrm{A}}^{+}$, con lo que el beneficio máximo asciende a 19.500 euros.