Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Una fábrica textil compra tela a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden la tela a 2 y 3 euros por metro, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 200 metros y un máximo de 700 y para satisfacer su demanda, la fábrica debe comprar en total como mínimo 600 metros. La fábrica quiere comprar al distribuidor A, como máximo, el doble de metros que al distribuidor B.

a) Plantee el problema que permite encontrar los metros que debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste.
b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
c) Calcule los metros que se deben comprar a cada distribuidor para obtener el mínimo coste y determine dicho coste mínimo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{encontrar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distribuidores}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{coste.}}$

Llamamos $x$ a los metros de tela que se compran al distribuidor A e $y$ a los que se compran al distribuidor B.

La función que hay que minimizar es el coste total de la compra:

$C(x,y)=2x+3y$

Las restricciones traducen las condiciones del enunciado:

Cada distribuidor vende un mínimo de 200 metros y un máximo de 700 $\Rightarrow$ $200\le x\le 700$ y $200\le y\le 700$.

La fábrica debe comprar en total como mínimo 600 metros $\Rightarrow$ $x+y\ge 600$.

Al distribuidor A se le compra, como máximo, el doble de metros que al B $\Rightarrow$ $x\le 2y$.

$\{\begin{array}{l}200\le x\le 700\\ 200\le y\le 700\\ x+y\ge 600\\ x\le 2y\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

La región factible es el pentágono coloreado en azul. La recta $y=200$ no aporta ningún lado: solo toca al recinto en un vértice.



Resolvemos los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada vértice.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=200\\ x+y=600\end{array}\Rightarrow y=400\Rightarrow A(200,400)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x=200\\ y=700\end{array}\Rightarrow B(200,700)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=700\\ y=700\end{array}\Rightarrow C(700,700)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x=700\\ x=2y\end{array}\Rightarrow y=350\Rightarrow D(700,350)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+y=600\\ x=2y\end{array}\Rightarrow 2y+y=600\Rightarrow y=200\Rightarrow x=400\Rightarrow E(400,200)$

Los vértices son $A(200,400)$, $B(200,700)$, $C(700,700)$, $D(700,350)$ y $E(400,200)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{distribuidor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función coste se alcanza en alguno de los vértices.

$C(200,400)=2\cdot 200+3\cdot 400=1600$

$C(200,700)=2\cdot 200+3\cdot 700=2500$

$C(700,700)=2\cdot 700+3\cdot 700=3500$

$C(700,350)=2\cdot 700+3\cdot 350=2450$

$C(400,200)=2\cdot 400+3\cdot 200=1400$

El coste mínimo se consigue comprando 400 metros de tela al distribuidor A y 200 metros al distribuidor B, y asciende a 1400 euros.