Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Un grupo empresarial desea crear una red de producción formada por plantas de dos tipos: A y B. Cada planta de producción A generaría unos costes mensuales de 1.000 euros y necesitaría 8 empleados para su funcionamiento, mientras que cada planta de producción B generaría unos costes mensuales de 2.000 euros y necesitaría 4 empleados. El número de plantas de producción A no deberá superar al doble de las de tipo B. Además, los costes mensuales de esta red de producción no deben superar los 42.000 euros y tampoco debe suponer la contratación de más de 120 empleados.

a) Formule el sistema de inecuaciones asociado al problema.
b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
c) Si se sabe que cada planta de producción A generaría unos beneficios mensuales de 24.000 euros y cada planta de producción B de 20.000 euros, ¿cuántas plantas de producción de cada tipo deberían formar la red para que los beneficios mensuales sean máximos?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Formule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{asociado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{problema.}}$

Llamamos $x$ al número de plantas de producción de tipo A e $y$ al de tipo B.

El número de plantas A no debe superar al doble de las de tipo B $\Rightarrow$ $x\le 2y$.

Los costes mensuales no deben superar los 42.000 euros $\Rightarrow$ $1000x+2000y\le 42000$, que simplificando queda $x+2y\le 42$.

No debe contratarse a más de 120 empleados $\Rightarrow$ $8x+4y\le 120$, es decir, $2x+y\le 30$.

El número de plantas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}x\le 2y\\ x+2y\le 42\\ 2x+y\le 30\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Resolvemos los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada vértice.

Vértice $O$: es el corte de $x=0$ con $x=2y$, de donde $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=42\end{array}\Rightarrow 2y=42\Rightarrow y=21\Rightarrow A(0,21)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=42\\ 2x+y=30\end{array}\Rightarrow y=30-2x\Rightarrow x+2(30-2x)=42\Rightarrow -3x=-18$

$x=6\Rightarrow y=18\Rightarrow B(6,18)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}2x+y=30\\ x=2y\end{array}\Rightarrow 4y+y=30\Rightarrow y=6\Rightarrow x=12\Rightarrow C(12,6)$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $A(0,21)$, $B(6,18)$ y $C(12,6)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{generar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{unos}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{mensuales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{24.000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20.000}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{plantas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{formar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{red}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{mensuales}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos?}}$

La función objetivo, en miles de euros, es $f(x,y)=24x+20y$. Por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo se alcanza en alguno de los vértices.

$f(0,0)=0$

$f(0,21)=20\cdot 21=420$

$f(6,18)=24\cdot 6+20\cdot 18=144+360=504$

$f(12,6)=24\cdot 12+20\cdot 6=288+120=408$

La red debe estar formada por 6 plantas de producción de tipo A y 18 de tipo B, con lo que los beneficios mensuales máximos ascienden a 504.000 euros.