Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Un barco pesquero se dedica a la captura de jurel y caballa. Las normas sobre cuotas son: las capturas totales no pueden exceder de 30 toneladas (Tm); la cantidad de jurel como máximo puede triplicar la de caballa y la cantidad de caballa no puede superar las 18 Tm.
Si el precio al que vende el jurel es de 5 €/kg y el de la caballa 6 €/kg

a) Formule y resuelva el problema que determina las cantidades que debe pescar de cada especie para maximizar los ingresos, cumpliendo las normas.
b) Represente gráficamente la región factible e indique sus vértices. ¿A cuánto ascienden los ingresos máximos?
c) ¿Cumpliría las normas sobre cuotas pesqueras si captura 20 Tm de jurel y 6 Tm de caballa? Explique su respuesta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Formule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cantidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{pescar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{especie}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos,}}\mathbf{\text{cumpliendo}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{normas.}}$

Llamamos $x$ a las toneladas de jurel e $y$ a las de caballa.

Los precios se dan en euros por kilo; como una tonelada son 1000 kilos, cada tonelada de jurel produce 5000 euros y cada tonelada de caballa 6000 euros. La función que hay que maximizar es

$I(x,y)=5000x+6000y$

Las normas sobre cuotas se traducen en:

Las capturas totales no pueden exceder de 30 Tm $\Rightarrow$ $x+y\le 30$.

El jurel como máximo puede triplicar la caballa $\Rightarrow$ $x\le 3y$.

La caballa no puede superar las 18 Tm $\Rightarrow$ $y\le 18$.

Las capturas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}x+y\le 30\\ x\le 3y\\ y\le 18\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos?}}$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Los vértices salen de resolver los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de $x=0$ con $x=3y$, es decir, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=18\end{array}\Rightarrow A(0,18)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=18\\ x+y=30\end{array}\Rightarrow x=12\Rightarrow B(12,18)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+y=30\\ x=3y\end{array}\Rightarrow 3y+y=30\Rightarrow y=\mathrm{7,5}\Rightarrow x=\mathrm{22,5}\Rightarrow C(\mathrm{22,5};\mathrm{7,5})$

Valoramos la función de ingresos en cada vértice.

$I(0,0)=0$

$I(0,18)=6000\cdot 18=108000$

$I(12,18)=5000\cdot 12+6000\cdot 18=60000+108000=168000$

$I(\mathrm{22,5};\mathrm{7,5})=5000\cdot \mathrm{22,5}+6000\cdot \mathrm{7,5}=112500+45000=157500$

Los ingresos máximos ascienden a 168.000 euros y se consiguen capturando 12 toneladas de jurel y 18 de caballa.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cumplir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{normas}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{cuotas}}\mathbf{\text{pesqueras}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{captura}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{Tm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{jurel}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{Tm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caballa?}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Comprobamos si el punto $(20,6)$ satisface las tres restricciones.

$\{\begin{array}{ll}20+6=26\le 30& \text{cierto}\\ 20\le 3\cdot 6=18& \text{falso}\\ 6\le 18& \text{cierto}\end{array}$

No cumpliría las normas: aunque el total capturado no llega a las 30 toneladas y la caballa no pasa de 18, con 6 toneladas de caballa el jurel no podría superar las 18 toneladas y se capturarían 20.