Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
En una fábrica se ensamblan dos tipos de motores: para motos y para coches. Para ensamblar un motor de moto se emplean 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina. Para ensamblar un motor de coche se emplean 45 minutos de trabajo manual y 40 minutos de trabajo de máquina. En un mes, la fábrica dispone de 120 horas de trabajo manual y 90 horas de trabajo de máquina. Sabiendo que el beneficio obtenido de cada motor de moto es de 1500 € y el de cada motor de coche de 2000 €:

a) Plantee el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar mensualmente para maximizar los beneficios globales.
b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
c) Halle las cantidades mensuales que se deben ensamblar de motores de cada tipo para maximizar beneficios y determine cuál es el beneficio máximo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{motores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ensamblar}}\mathbf{\text{mensualmente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{globales.}}$

Llamamos $x$ al número de motores de moto e $y$ al de motores de coche que se ensamblan al mes.

La función que hay que maximizar es el beneficio global:

$f(x,y)=1500x+2000y$

Para las restricciones pasamos las horas disponibles a minutos: 120 horas de trabajo manual son 7200 minutos y 90 horas de máquina son 5400 minutos.

Trabajo manual $\Rightarrow$ $60x+45y\le 7200$, que dividiendo entre 15 queda $4x+3y\le 480$.

Trabajo de máquina $\Rightarrow$ $20x+40y\le 5400$, que dividiendo entre 20 queda $x+2y\le 270$.

El número de motores no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

$\{\begin{array}{l}4x+3y\le 480\\ x+2y\le 270\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Resolvemos los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada vértice.

Vértice $O(0,0)$: corte de los dos ejes.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=270\end{array}\Rightarrow y=135\Rightarrow B(0,135)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}4x+3y=480\\ x+2y=270\end{array}\Rightarrow x=270-2y\Rightarrow 4(270-2y)+3y=480$

$1080-5y=480\Rightarrow y=120\Rightarrow x=30\Rightarrow C(30,120)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}4x+3y=480\\ y=0\end{array}\Rightarrow x=120\Rightarrow D(120,0)$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $B(0,135)$, $C(30,120)$ y $D(120,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cantidades}}\mathbf{\text{mensuales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{ensamblar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{motores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo se alcanza en alguno de los vértices.

$f(0,0)=0$

$f(0,135)=2000\cdot 135=270000$

$f(30,120)=1500\cdot 30+2000\cdot 120=45000+240000=285000$

$f(120,0)=1500\cdot 120=180000$

La fábrica debe ensamblar mensualmente 30 motores de moto y 120 motores de coche, con lo que el beneficio máximo asciende a 285.000 euros.