Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Consideramos el siguiente sistema de inecuaciones:
$y\le x+2x+y\le 6x\le 5y\ge 0$

a) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
b) Determine el punto o puntos de esa región en donde la función $f(x,y)=x-y$ alcanza sus valores máximo y mínimo.
c) Determine esos valores máximo y mínimo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

Las cuatro inecuaciones ya vienen despejadas o son inmediatas, de modo que basta con dibujar las rectas frontera y quedarse con el semiplano que indica cada una.

$\{\begin{array}{l}y\le x+2\\ x+y\le 6\Rightarrow y\le 6-x\\ x\le 5\\ y\ge 0\end{array}$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Resolvemos los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada vértice.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=0\end{array}\Rightarrow x=-2\Rightarrow A(-2,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ x+y=6\end{array}\Rightarrow x+x+2=6\Rightarrow x=2\Rightarrow y=4\Rightarrow B(2,4)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x=5\end{array}\Rightarrow y=1\Rightarrow C(5,1)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=0\end{array}\Rightarrow D(5,0)$

Los vértices de la región factible son $A(-2,0)$, $B(2,4)$, $C(5,1)$ y $D(5,0)$.



Por el teorema fundamental de la programación lineal los extremos se alcanzan en los vértices, así que valoramos la función en los cuatro.

$f(-2,0)=-2-0=-2$

$f(2,4)=2-4=-2$

$f(5,1)=5-1=4$

$f(5,0)=5-0=5$

El máximo se alcanza únicamente en el vértice $D(5,0)$. El mínimo lo alcanzan a la vez $A(-2,0)$ y $B(2,4)$, que son vértices consecutivos, de modo que se alcanza en todos los puntos del lado que los une, el apoyado en la recta $y=x+2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}$

Con los cálculos del apartado anterior, el valor máximo de la función es 5 y el mínimo es $-2$.