Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una inmobiliaria quiere promover una pequeña urbanización destinada principalmente a compradores jóvenes. Para ello va a construir dos tipos de viviendas: de tipo A, más asequibles y de menor tamaño, y de tipo B, más caras y de mayor tamaño. La empresa cuenta con un presupuesto de 4.400.000€ para la obra. El coste de construcción de cada vivienda es de 100.000€ para las del tipo A y 200.000€ para las del tipo B. El solar disponible permite construir como máximo 36 viviendas y la normativa urbanística obliga a que las viviendas del tipo A sean al menos el doble que las del tipo B. La inmobiliaria ha comprometido ya la venta de 4 del tipo B. El beneficio una vez descontado el coste de construcción es de 20.000 € por cada vivienda del tipo A y 32.000€ por cada una del tipo B. Se desea determinar cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para que el beneficio sea máximo.

a) Plantear el problema de programación lineal correspondiente al enunciado. [1 punto]

b) Representar gráficamente la región factible. [1 punto]

c) Determinar, razonadamente, el número de viviendas de cada tipo que debe construir la inmobiliaria para maximizar el beneficio. Calcular el beneficio máximo obtenido. [0,5 puntos]

d) Del presupuesto inicial de 4.400.000€ con que contaba la empresa, solo un 20% procedía de fondos propios y el resto se pensaba conseguir mediante un préstamo bancario. Sin embargo, justo antes de empezar la obra, se produce una recesión económica en el país, como consecuencia de la cual el banco comunica a la inmobiliaria que solo puede concederle un préstamo del 70% del presupuesto inicial; además el coste de fabricación por vivienda se incrementa en un 15%. Ante esta situación la inmobiliaria decide finalmente construir 24 viviendas tipo A y 5 tipo B. ¿Le alcanzará el presupuesto? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{enunciado.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos:

$x\equiv$ número de viviendas del tipo A

$y\equiv$ número de viviendas del tipo B

El presupuesto limita el coste total de la obra, con 100 000 € por vivienda del tipo A y 200 000 € por cada una del tipo B. Dividiendo entre 100 000 la restricción queda mucho más manejable.

$100000x+200000y\le 4400000\Rightarrow x+2y\le 44$

El solar admite como máximo 36 viviendas, la normativa obliga a que las del tipo A sean al menos el doble que las del tipo B, y hay cuatro del tipo B ya vendidas.

$x+y\le 36,x\ge 2y,y\ge 4,x\ge 0$

La función objetivo es el beneficio, que hay que maximizar.

$Z(x,y)=20000x+32000y$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se dibuja cada restricción como una recta y se sombrea el semiplano que la cumple; la región factible es la intersección de todos ellos, un cuadrilátero.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determinar,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{viviendas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inmobiliaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas formados por las rectas que se cortan en cada esquina:

$\begin{array}{r}x=2y\\ x+2y=44\end{array}\}\Rightarrow 4y=44\Rightarrow A(22,11)$

$\begin{array}{r}x+2y=44\\ x+y=36\end{array}\}\Rightarrow y=8\Rightarrow B(28,8)$

$\begin{array}{r}x+y=36\\ y=4\end{array}\}\Rightarrow C(32,4),\begin{array}{r}x=2y\\ y=4\end{array}\}\Rightarrow D(8,4)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo se alcanza en un vértice, así que se evalúa la función objetivo en los cuatro.

$Z(22,11)=20000\cdot 22+32000\cdot 11=440000+352000=792000$

$Z(28,8)=20000\cdot 28+32000\cdot 8=560000+256000=816000$

$Z(32,4)=20000\cdot 32+32000\cdot 4=640000+128000=768000$

$Z(8,4)=20000\cdot 8+32000\cdot 4=160000+128000=288000$

La inmobiliaria debe construir 28 viviendas del tipo A y 8 del tipo B, con lo que agota a la vez el solar y el presupuesto y obtiene un beneficio máximo de $816000\text{ €}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Del}}\mathbf{\text{presupuesto}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4.400.000€}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contaba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa,}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{proced}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fondos}}\mathbf{\text{propios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pensaba}}\mathbf{\text{conseguir}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{stamo}}\mathbf{\text{bancario.}}\mathbf{\text{Sin}}\mathbf{\text{embargo,}}\mathbf{\text{justo}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empezar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{obra,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{recesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{econ}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{consecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{banco}}\mathbf{\text{comunica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inmobiliaria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{concederle}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{stamo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{70\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{presupuesto}}\mathbf{\text{inicial;}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{vivienda}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15\%.}}\mathbf{\text{Ante}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inmobiliaria}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{finalmente}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{viviendas}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{¿Le}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{presupuesto?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se compara el dinero del que dispone la empresa con lo que le costará la obra. Los fondos propios son el $20\mathrm{\%}$ del presupuesto inicial y el préstamo concedido, el $70\mathrm{\%}$ de esa misma cantidad.

$\text{Disponible}=\mathrm{0,20}\cdot 4400000+\mathrm{0,70}\cdot 4400000=880000+3080000$

$\text{Disponible}=3960000\text{ €}$

Los costes de construcción suben un $15\mathrm{\%}$.

$100000\cdot \mathrm{1,15}=115000\text{ € },200000\cdot \mathrm{1,15}=230000\text{ €}$

$\text{Coste}=24\cdot 115000+5\cdot 230000=2760000+1150000$

$\text{Coste}=3910000\text{ €}$

$3910000<3960000$

Sí le alcanza el presupuesto: construir 24 viviendas del tipo A y 5 del tipo B cuesta $3910000\text{ €}$, con lo que aún le sobran $50000\text{ €}$ de los $3960000\text{ €}$ de los que dispone.