Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una granja produce dos tipos de cultivos: maíz y trigo, generando un beneficio de 50 euros por hectárea de maíz y 40 euros por hectárea de trigo. La granja dispone de 120 hectáreas para cultivar y de 300 depósitos de agua. Cada hectárea de maíz requiere 3 depósitos de agua y cada hectárea de trigo requiere 2. Además, la granja debe dedicar al menos 20 hectáreas al maíz y 15 hectáreas al trigo. Determine el número de hectáreas que se deben dedicar a cada cultivo para obtener los beneficios máximos y calcule dichos beneficios. [3 puntos]

Llamamos $x$ al número de hectáreas dedicadas al maíz e $y$ al número de hectáreas dedicadas al trigo.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Hect}\acute{\text{a}}\text{reas}$	$\text{Dep}\acute{\text{o}}\text{sitos de agua}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Maíz	$x$	$3x$	$50x$ Trigo	$y$	$2y$	$40y$ Totales	$x+y$	$3x+2y$	$50x+40y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=50x+40y$

Las restricciones del problema son:

La granja dispone de 120 hectáreas $\Rightarrow x+y\le 120$.

Dispone de 300 depósitos de agua $\Rightarrow 3x+2y\le 300$.

Debe dedicar al menos 20 hectáreas al maíz y 15 al trigo $\Rightarrow x\ge 20$, $y\ge 15$.

$\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ 3x+2y\le 300\\ x\ge 20;y\ge 15\end{array}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: corte de $x=20$ con $y=15$, es decir $A(20,15)$.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=300\\ y=15\end{array}\Rightarrow 3x=270\Rightarrow B(90,15)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+y=120\\ 3x+2y=300\end{array}\Rightarrow y=120-x\Rightarrow 3x+240-2x=300\Rightarrow C(60,60)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x=20\\ x+y=120\end{array}\Rightarrow D(20,100)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(20,15)=50\cdot 20+40\cdot 15=1600\text{ euros}$

$B(90,15)=50\cdot 90+40\cdot 15=5100\text{ euros}$

$B(60,60)=50\cdot 60+40\cdot 60=5400\text{ euros}$

$B(20,100)=50\cdot 20+40\cdot 100=5000\text{ euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(60,60)$.

La granja debe dedicar 60 hectáreas al maíz y 60 hectáreas al trigo, con lo que obtiene un beneficio máximo de 5400 euros.