Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir $1{\text{m}}^2$ de tablero DM se consumen $10{\text{m}}^3$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10 €. Para producir $1{\text{m}}^2$ de tablero aglomerado se consumen $30{\text{m}}^3$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20 €. La empresa puede fabricar diariamente como máximo $12{\text{m}}^2$ de tableros DM y $18{\text{m}}^2$ de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a $26{\text{m}}^2$ diarios y dispone de $600{\text{m}}^3$ de madera triturada al día.

Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio. [3 puntos]

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tablero}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{producirse}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a los metros cuadrados diarios de tablero DM e $y$ a los de tablero de aglomerado. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	${\text{Superficie (m}}^2\text{)}$	${\text{Madera triturada (m}}^3\text{)}$	$\text{Beneficio (€)}$
DM $(x)$	$x$	$10x$	$10x$
Aglomerado $(y)$	$y$	$30y$	$20y$
Disponible	$26$	$600$	$$

La función objetivo que deseamos maximizar es el beneficio diario:

$B(x,y)=10x+20y$

Las restricciones del problema son:

Como máximo se fabrican $12{\text{m}}^2$ de DM al día $\Rightarrow$ $x\le 12$.

Como máximo se fabrican $18{\text{m}}^2$ de aglomerado al día $\Rightarrow$ $y\le 18$.

La producción conjunta está limitada a $26{\text{m}}^2$ diarios $\Rightarrow$ $x+y\le 26$.

Se dispone de $600{\text{m}}^3$ de madera triturada al día $\Rightarrow$ $10x+30y\le 600$, es decir, $x+3y\le 60$.

Las superficies producidas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x\le 12\\ y\le 18\\ x+y\le 26\\ x+3y\le 60\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible dibujamos las rectas que la delimitan y tomamos, en cada caso, el semiplano que contiene al origen, que cumple las cuatro inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $O$: $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}y=0\\ x=12\end{array}\Rightarrow A(12,0)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x=12\\ x+y=26\end{array}\Rightarrow y=14\Rightarrow B(12,14)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x+y=26\\ x+3y=60\end{array}$. Restando la primera de la segunda:

$2y=34\Rightarrow y=17\Rightarrow x=26-17=9\Rightarrow C(9,17)$

Vértice $D$: $\{\begin{array}{l}x+3y=60\\ y=18\end{array}\Rightarrow x=60-54=6\Rightarrow D(6,18)$

Vértice $E$: $\{\begin{array}{l}y=18\\ x=0\end{array}\Rightarrow E(0,18)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del beneficio máximo:

$O(0,0)\Rightarrow B(0,0)=0$

$A(12,0)\Rightarrow B(12,0)=120$

$B(12,14)\Rightarrow B(12,14)=120+280=400$

$C(9,17)\Rightarrow B(9,17)=90+340=430$

$D(6,18)\Rightarrow B(6,18)=60+360=420$

$E(0,18)\Rightarrow B(0,18)=360$

El máximo se alcanza en el vértice $C(9,17)$.

La empresa debe producir diariamente $9{\text{m}}^2$ de tablero DM y $17{\text{m}}^2$ de tablero de aglomerado, con lo que obtiene un beneficio máximo de 430 € al día.