Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una sala de operaciones podemos llevar a cabo dos tipos de operaciones:

— Tipo A: necesita 4 apósitos, 2 catéteres, y tiene una duración de 0,5 horas.

— Tipo B: necesita 6 apósitos, 1 catéter, y tiene una duración de 1 hora.

Necesitamos hacer al menos 10 operaciones en total, y disponemos solo de 60 apósitos y 26 catéteres. ¿Cuántas operaciones de cada tipo hemos de hacer para maximizar las horas de uso de la sala de operaciones? [3 puntos]

$\mathbf{\text{Necesitamos}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{operaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{disponemos}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{ap}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sitos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{26}}\mathbf{\text{cat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{teres.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{operaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sala}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{operaciones?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de operaciones del tipo A e $y$ al número de operaciones del tipo B. Ordenamos en una tabla lo que consume cada tipo.

$\text{Tipo}$	$\text{Ap}\acute{\text{o}}\text{sitos}$	$\text{Cat}\acute{\text{e}}\text{teres}$	$\text{Horas}$ A (x)	4x	2x	0,5x B (y)	6y	y	y Totales	4x+6y	2x+y	0,5x+y

La función objetivo, que se quiere hacer máxima, es el número de horas de uso de la sala.

$Z(x,y)=\mathrm{0,5}x+y$

Las restricciones son el mínimo de operaciones, el material disponible y el hecho de que un número de operaciones no puede ser negativo.

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 10\\ 4x+6y\le 60\\ 2x+y\le 26\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para dibujar la región factible se representan las rectas que la delimitan.

$x+y=10\Rightarrow y=10-x$

$4x+6y=60\Rightarrow y={\displaystyle \frac{60-4x}{6}}$

$2x+y=26\Rightarrow y=26-2x$



Los vértices del recinto se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 4x+6y=60\end{array}\Rightarrow 6y=60\Rightarrow A(0,10)$

$\{\begin{array}{l}4x+6y=60\\ 2x+y=26\end{array}\Rightarrow 4x+6(26-2x)=60\Rightarrow -8x=-96\Rightarrow B(12,2)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=26\\ y=0\end{array}\Rightarrow 2x=26\Rightarrow C(13,0)$

$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ y=0\end{array}\Rightarrow x=10\Rightarrow D(10,0)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función objetivo se alcanza en alguno de los vértices, así que se evalúa $Z$ en los cuatro.

$Z(0,10)=\mathrm{0,5}\cdot 0+10=10$

$Z(12,2)=\mathrm{0,5}\cdot 12+2=8$

$Z(13,0)=\mathrm{0,5}\cdot 13+0=\mathrm{6,5}$

$Z(10,0)=\mathrm{0,5}\cdot 10+0=5$

El valor máximo, 10 horas, se alcanza en el vértice $A(0,10)$.

Se comprueba que esa solución es admisible: 10 operaciones del tipo B consumen $6\cdot 10=60$ apósitos, justo los disponibles, y $10$ catéteres de los 26, y suman las 10 operaciones exigidas.

Para maximizar las horas de uso hay que hacer 10 operaciones del tipo B y ninguna del tipo A, con lo que la sala se ocupa 10 horas. El resultado es razonable: la operación B dura el doble que la A y solo gasta un catéter y medio apósito más, de modo que el recurso escaso —los apósitos— rinde más horas empleado en operaciones del tipo B.