Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Luis ha hecho una cartulina con cada una de las siete letras de LA RIOJA y las ha introducido en una urna.

i) Si extrae una cartulina, ¿cuál es probabilidad de que sea la R?, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea la A? (0,5 puntos)
ii) Luis extrae una cartulina y, a continuación, sin volver a introducir la primera, saca otra y se las muestra en ese orden a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María vea LA? (0,5 puntos)
iii) Luis repite la operación y le vuelve a mostrar las cartas a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María pueda formar la palabra LA?, ¿y de que pueda formar la palabra LO? (0,75 puntos)
iv) Luis extrae ahora tres cartulinas sin reemplazar después de cada extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que María lea RIO si se las muestra en el orden en el que Luis las ha extraído? ¿Y de que lea RIA? (0,75 puntos)

En la urna hay siete cartulinas, una por cada letra de LA RIOJA: $L$, $A$, $R$, $I$, $O$, $J$ y $A$. Conviene fijarse en que la $A$ está repetida: hay dos cartulinas con esa letra y una sola de cada una de las demás.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{extrae}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cartulina,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{R?,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{NO}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{A?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las siete cartulinas son igualmente probables, así que se aplica la regla de Laplace.

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{7}}$

Para la segunda se pasa por el suceso contrario, teniendo en cuenta que hay dos aes:

$P(A)={\displaystyle \frac{2}{7}}\Rightarrow P(\bar{A})=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{extrae}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cartulina}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{volver}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{introducir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera,}}\mathbf{\text{saca}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Mar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Mar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{vea}}\mathbf{\text{LA?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al mostrarlas en ese orden, la primera tiene que ser la $L$ y la segunda una de las dos aes. En la segunda extracción quedan seis cartulinas.

$P(LA)=P(L)\cdot P(A\mathrm{/}L)={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{2}{42}}={\displaystyle \frac{1}{21}}$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{repite}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{operaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{vuelve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mostrar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cartas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Mar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Mar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{formar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{LA?,}}\mathbf{\text{¿y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{formar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{palabra}}\mathbf{\text{LO?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Ahora no importa el orden: basta con que salgan las dos letras, en el orden que sea. Son dos sucesos incompatibles y se suman sus probabilidades.

$P(\text{formar LA})=P(LA)+P(AL)={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}$

$={\displaystyle \frac{2}{42}}+{\displaystyle \frac{2}{42}}={\displaystyle \frac{4}{42}}={\displaystyle \frac{2}{21}}$

$P(\text{formar LO})=P(LO)+P(OL)={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}$

$={\displaystyle \frac{1}{42}}+{\displaystyle \frac{1}{42}}={\displaystyle \frac{2}{42}}={\displaystyle \frac{1}{21}}$

La probabilidad de poder formar LA es ${\displaystyle \frac{2}{21}}\approx \mathrm{0,0952}$, el doble que la de formar LO, ${\displaystyle \frac{1}{21}}\approx \mathrm{0,0476}$: la $A$ está repetida y la $O$ no.

$\mathbf{\text{iv)}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{extrae}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{cartulinas}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{reemplazar}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Mar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{RIO}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{RIA?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al importar el orden, cada palabra corresponde a una única secuencia de extracciones y se multiplican las tres probabilidades condicionadas, con una cartulina menos en cada paso.

$P(RIO)={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1}{210}}$

En la última letra de RIA hay dos cartulinas favorables en vez de una:

$P(RIA)={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2}{210}}={\displaystyle \frac{1}{105}}$

Leer RIA es el doble de probable que leer RIO, otra vez porque la $A$ aparece dos veces en LA RIOJA.