Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

a) Dada la población $\{-5,-2,13,18,20\}$, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral. [1 punto]

b) Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral, se sabe que $P(A)=\mathrm{0,75}$, $P(B^c)=\mathrm{0,8}$ y $P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,6}$. Calcule las siguientes probabilidades: [1 punto]

$P(A\cap B),P(B-A),P(A\cup B),P(A^c-B)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">\{</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">13</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">18</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">20</mn><mo\; stretchy="false">\}</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{consideran}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{muestras}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{obtenidas}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{muestreo}}\mathbf{\text{aleatorio}}\mathbf{\text{simple.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En un muestreo aleatorio simple la distribución de la media muestral $\bar{X}$ tiene por media la media $\mu$ de la población y por varianza ${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$, siendo ${\sigma }^2$ la varianza de la población y $n$ el tamaño de la muestra. Calculamos primero esos dos parámetros poblacionales.

$\mu ={\displaystyle \frac{-5-2+13+18+20}{5}}={\displaystyle \frac{44}{5}}=\mathrm{8,8}$

${\sigma }^2={\displaystyle \frac{(-5{)}^2+(-2{)}^2+{13}^2+{18}^2+{20}^2}{5}}-{\mu }^2={\displaystyle \frac{922}{5}}-{\mathrm{8,8}}^2$

${\sigma }^2=\mathrm{184,4}-\mathrm{77,44}=\mathrm{106,96}$

Con $n=3$, la distribución de la media muestral tiene por parámetros:

${\mu }_{\bar{X}}=\mu =\mathrm{8,8}$

${\sigma }_{\bar{X}}^2={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}={\displaystyle \frac{\mathrm{106,96}}{3}}\approx \mathrm{35,65}$

La distribución de la media muestral tiene media $\mathrm{8,8}$ y varianza $\mathrm{35,65}$ aproximadamente.



Del suceso contrario se obtiene la probabilidad de $B$:

$P(B)=1-P(B^c)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$

De la definición de probabilidad condicionada, $P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$, se despeja la intersección:

$P(A\cap B)=P(A\mathrm{/}B)\cdot P(B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,12}$

La diferencia $B-A$ está formada por los sucesos elementales de $B$ que no están en $A$:

$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,08}$

Para la unión aplicamos que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$:

$P(A\cup B)=\mathrm{0,75}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,83}$

Por último, $A^c-B$ son los sucesos que no están en $A$ ni en $B$, es decir, $A^c\cap B^c$, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión:

$P(A^c-B)=P((A\cup B{)}^c)=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,83}=\mathrm{0,17}$

El reparto de la probabilidad entre las cuatro zonas que $A$ y $B$ determinan queda así:



Por tanto, $P(A\cap B)=\mathrm{0,12}$, $P(B-A)=\mathrm{0,08}$, $P(A\cup B)=\mathrm{0,83}$ y $P(A^c-B)=\mathrm{0,17}$.