Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20 % de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]

b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]

c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. [0,5 puntos]

d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{contraten}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se seleccionan 20 personas de forma independiente y de cada una solo interesa si contrata el servicio —con probabilidad $\mathrm{0,2}$— o no lo contrata. La variable $X$, «número de personas que contratan el servicio», sigue una distribución binomial.

$X\sim B(20;\mathrm{0,2})$

Aplicamos la fórmula de la función de probabilidad de la binomial.

$P(X=10)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{10}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^{10}\cdot {\mathrm{0,8}}^{10}$

$P(X=10)=184756\cdot {\mathrm{0,2}}^{10}\cdot {\mathrm{0,8}}^{10}\approx \mathrm{0,0020}$

La probabilidad de que exactamente 10 de las 20 personas contraten el servicio es de $\mathrm{0,0020}$, es decir, apenas dos de cada mil.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{contraten}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

«Al menos 2» abarca demasiados casos para sumarlos uno a uno, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene dos: que no contrate ninguna o que contrate exactamente una.

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^0\cdot {\mathrm{0,8}}^{20}={\mathrm{0,8}}^{20}\approx \mathrm{0,0115}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^1\cdot {\mathrm{0,8}}^{19}=20\cdot \mathrm{0,2}\cdot {\mathrm{0,8}}^{19}\approx \mathrm{0,0576}$

$P(X\ge 2)=1-\mathrm{0,0115}-\mathrm{0,0576}=\mathrm{0,9309}$

La probabilidad de que al menos 2 de las 20 personas contraten el servicio es de $\mathrm{0,9309}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contratar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{seleccionadas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El valor esperado de una distribución binomial es el producto del número de repeticiones por la probabilidad de éxito.

$E[X]=n\cdot p=20\cdot \mathrm{0,2}=4$

De entre las 20 personas seleccionadas se espera que contraten el servicio 4 personas.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{visto}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{anuncio,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{seleccionar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contraten}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{13?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el número de personas seleccionadas es la incógnita: la variable sigue siendo binomial de parámetro $p=\mathrm{0,2}$ y se impone la condición sobre su valor esperado.

$E[X]=n\cdot \mathrm{0,2}\ge 13\Rightarrow n\ge {\displaystyle \frac{13}{\mathrm{0,2}}}=65$

Se deberían seleccionar al menos 65 personas de entre las que han visto el anuncio.