Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Un estudio sociológico analiza el gasto mensual en alquiler de las personas jóvenes (en €). Se asume que ese gasto sigue una distribución normal, con una desviación típica de 150 €.

a) Si se quiere estimar el gasto medio mensual en alquiler de las personas jóvenes, ¿cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea de 20 €, con un nivel de confianza del 95 %? [1 punto]

b) En la misma población se tomó una muestra aleatoria de 900 personas jóvenes y se obtuvo un intervalo de confianza al 90 % para el gasto medio mensual que resultó ser $(\mathrm{741,77};\mathrm{758,23})$. ¿Cuál fue el gasto medio mensual obtenido en esta muestra de 900 personas? [0,5 puntos]

c) Se realizó una nueva encuesta con un tamaño muestral mucho mayor que el del apartado anterior. Si se determina el intervalo de confianza al nivel del 90 %, ¿el error de estimación será mayor o menor que en el caso anterior? ¿El error dependerá del valor de la media muestral $\bar{x}$ que se obtenga? Explique razonadamente su respuesta. [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,90}$; $F(\mathrm{1,64})=\mathrm{0,95}$; $F(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$; $F(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,99}$; $F(\mathrm{2,58})=\mathrm{0,995}$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$, con $F(z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\alpha \mathrm{/}2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error máximo de estimación de la media, con la desviación típica poblacional conocida, es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Para una confianza del 95 % se necesita el valor crítico que deja $\mathrm{0,975}$ a su izquierda, y la tabla da $F(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$, luego $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. Despejando el tamaño de la muestra:

$\sqrt{n}\ge \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}=\frac{\mathrm{1,96}\cdot 150}{20}=\mathrm{14,7}$

$n\ge {\mathrm{14,7}}^2=\mathrm{216,09}$

Como el tamaño muestral ha de ser un número entero y la desigualdad es «al menos», se redondea siempre hacia arriba:

$n=217\text{ personas}$

Con 216 el error se pasaría —aunque fuera por poco— de los 20 € admitidos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{900}}\mathbf{\text{personas?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El intervalo de confianza para la media está centrado en la media muestral, así que basta calcular el punto medio:

$\bar{x}=\frac{\mathrm{741,77}+\mathrm{758,23}}{2}=\frac{1500}{2}=750\text{ €}$

El gasto medio mensual de la muestra fue de $750$ €. (Se puede comprobar la coherencia del intervalo: su semiamplitud es $\mathrm{8,23}$, y $\mathrm{1,64}\cdot 150\mathrm{/}\sqrt{900}=\mathrm{1,64}\cdot 5=\mathrm{8,2}$, el error correspondiente al 90 % de confianza que indica el enunciado.)

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{¿el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menor?}}\mathbf{\text{¿Depender}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error de estimación es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

y en esa expresión aparecen solo tres cosas: el valor crítico, que depende del nivel de confianza; la desviación típica poblacional, que es un dato fijo de $150$ €; y el tamaño de la muestra.

Al aumentar $n$ manteniendo el 90 % de confianza, el denominador $\sqrt{n}$ crece y el error $\mathbf{\text{disminuye}}$: el intervalo se estrecha y la estimación es más precisa. Eso sí, la mejora es lenta, porque el error va con la raíz cuadrada: para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.

Y no, el error $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{depende}}$ del valor de la media muestral $\bar{x}$: esta solo determina dónde se centra el intervalo, no su anchura. Es una diferencia importante respecto del intervalo para una proporción, donde el error sí depende de $\widehat{p}$ porque el error estándar es $\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})\mathrm{/}n}$.