Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El gasto por visitante en una atracción se puede asumir que sigue distribución normal con desviación 8 euros.

a) ¿Cuál es el tamaño de muestra $n$ mínimo para estimar el gasto medio por visitante en esta atracción mediante un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 % con un error de estimación inferior a 2 €? Si, con el mismo nivel de confianza, se quisiese obtener un intervalo con menos error, ¿habría que aumentar o reducir el tamaño muestral mínimo obtenido? [1 punto]

b) Para una muestra de $n$ visitantes se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza al 95 % de confianza (en euros) para el gasto medio por visitante: $(\mathrm{11,0947};\mathrm{12,9053})$. ¿Cuál fue el gasto medio por visitante en esa muestra? ¿Cuál fue el tamaño muestral $n$ considerado? ¿Cuál es el error de estimación en este caso? [0,5 puntos]

c) Partiendo del intervalo del apartado b), empareje las situaciones y los intervalos siguientes y justifique su elección. [1 punto]

(i) Intervalo a partir de la misma muestra pero a un nivel de confianza mayor.

(ii) Intervalo con la misma media muestral y nivel de confianza, pero obtenido a partir de una muestra de mayor tamaño.

(iii) Intervalo con nivel de confianza obtenido a partir de una muestra con el mismo tamaño pero con una media muestral diferente.

(A) $(\mathrm{10,0947};\mathrm{11,9053})$ (B) $(\mathrm{10,9238};\mathrm{13,0762})$ (C) $(\mathrm{11,216};\mathrm{12,784})$

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,90}$; $F(\mathrm{1,64})=\mathrm{0,95}$; $F(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$; $F(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,99}$; $F(\mathrm{2,58})=\mathrm{0,995}$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$, con $F(z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\alpha \mathrm{/}2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{€?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quisiese}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{error,}}\mathbf{\text{¿habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aumentar}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{reducir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El error máximo de estimación de la media es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Para el 90 % de confianza se busca $F(z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,10}\mathrm{/}2=\mathrm{0,95}$, y la tabla da $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,64}$. Con $\sigma =8$ y $E<2$:

$\sqrt{n}>\frac{\mathrm{1,64}\cdot 8}{2}=\mathrm{6,56}\Rightarrow n>{\mathrm{6,56}}^2=\mathrm{43,03}$

$n=44\text{ visitantes}$

Se redondea hacia arriba porque el tamaño ha de ser entero y el error tiene que quedar por debajo de 2 €.

En cuanto a la segunda pregunta, para reducir el error $\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aumentar}}$ la muestra: en la fórmula $n$ está en el denominador y bajo una raíz, de modo que a más datos, menos error. Eso sí, la mejora es lenta: para dividir el error entre dos hay que cuadruplicar el número de visitantes encuestados.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{(11,0947;}}\mathbf{\text{12,9053)}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{muestral?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El intervalo está centrado en la media muestral:

$\bar{x}=\frac{\mathrm{11,0947}+\mathrm{12,9053}}{2}=12\text{ €}$

y su semiamplitud es el error de estimación:

$E=\mathrm{12,9053}-12=\mathrm{0,9053}\text{ €}$

Con ese error se despeja el tamaño, ahora con $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, que es el del 95 %:

$\mathrm{0,9053}=\mathrm{1,96}\cdot \frac{8}{\sqrt{n}}\Rightarrow \sqrt{n}=\frac{\mathrm{15,68}}{\mathrm{0,9053}}=\mathrm{17,32}$

$n={\mathrm{17,32}}^2=300\text{ visitantes}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Empareje}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{situaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{elecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene fijarse en dos rasgos de cada intervalo: dónde está centrado (la media muestral) y cuánto mide (el error).

Intervalo	Centro	Semiamplitud (A) $(\mathrm{10,0947};\mathrm{11,9053})$	11	0,9053 (B) $(\mathrm{10,9238};\mathrm{13,0762})$	12	1,0762 (C) $(\mathrm{11,216};\mathrm{12,784})$	12	0,784

$\mathbf{\text{(i)}}$ Misma muestra pero mayor confianza: el centro no cambia (12) y el intervalo se ensancha, porque el valor crítico crece. Es el $\mathbf{\text{(B)}}$, cuya semiamplitud es mayor que la original de 0,9053 (corresponde a $z=\mathrm{2,33}$, es decir, al 98 %).

$\mathbf{\text{(ii)}}$ Misma media y misma confianza, pero muestra mayor: el centro sigue siendo 12 y el intervalo se estrecha, porque $\sqrt{n}$ aumenta. Es el $\mathbf{\text{(C)}}$.

$\mathbf{\text{(iii)}}$ Mismo tamaño y misma confianza, pero otra media muestral: el intervalo mide exactamente lo mismo que el original y solo se desplaza. Es el $\mathbf{\text{(A)}}$, con la misma semiamplitud 0,9053 pero centrado en 11.