Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En 2025 la mediana de los salarios en España fue de aproximadamente 24 000 € anuales. Es decir, la mitad de los trabajadores ganaron más, y la mitad de los trabajadores ganaron menos de esta cantidad. Según el Instituto Nacional de Estadística,

— de los trabajadores con un salario inferior a la mediana, el 31 % no estaban satisfechos con su trabajo y el otro 69 % sí que lo estaban,

— de los trabajadores con un salario superior a la mediana, el 26 % no estaban satisfechos con su trabajo y el otro 74 % sí que lo estaban.

a) Escogiendo un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no esté satisfecho con su trabajo? [1 punto]

b) Escogiendo un trabajador al azar que no esté satisfecho con su trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un salario inferior a la mediana? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escogiendo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajador}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{satisfecho}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{trabajo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $I$ al suceso «el trabajador tiene un salario inferior a la mediana», $S$ al suceso «lo tiene superior» y $N$ al suceso «no está satisfecho con su trabajo».

Que 24 000 € sea la mediana de los salarios significa que la mitad de los trabajadores gana menos y la otra mitad gana más, de modo que los dos primeros sucesos son igualmente probables y forman un sistema completo.

$P(I)=P(S)=\mathrm{0,5}$

Los porcentajes de satisfacción que da el enunciado están referidos a cada uno de esos dos grupos, así que son probabilidades condicionadas. El experimento tiene dos etapas y se ordena en un diagrama de árbol.



Se recorren las dos ramas que acaban en «no satisfecho» y se suman sus productos: es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(I)\cdot P(N\mathrm{/}I)+P(S)\cdot P(N\mathrm{/}S)$

$P(N)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,31}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,26}=\mathrm{0,155}+\mathrm{0,130}$

$P(N)=\mathrm{0,285}$

Escogiendo un trabajador al azar, la probabilidad de que no esté satisfecho con su trabajo es de $\mathrm{0,285}$, es decir, un 28,5 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escogiendo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajador}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{satisfecho}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{trabajo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mediana?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se conoce el final del experimento y se pregunta por su origen, de manera que se trata de una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(I\mathrm{/}N)={\displaystyle \frac{P(I\cap N)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{P(I)\cdot P(N\mathrm{/}I)}{P(N)}}$

El numerador es la rama del árbol que pasa por «salario inferior» y acaba en «no satisfecho»; el denominador es el resultado del apartado anterior.

$P(I\mathrm{/}N)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,31}}{\mathrm{0,285}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,155}}{\mathrm{0,285}}}={\displaystyle \frac{31}{57}}$

$P(I\mathrm{/}N)\approx \mathrm{0,5439}$

De los trabajadores que no están satisfechos con su trabajo, el 54,39 % cobra por debajo de la mediana. La proporción es mayor que el 50 % de la población total, lo que confirma que la insatisfacción es algo más frecuente en el grupo de salarios bajos.