Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En un estudio se sugirió que el tiempo que cada joven de una población dedica al día a las redes sociales sigue una distribución normal, de media 116 minutos y desviación típica 42 minutos.

a) ¿Qué proporción de jóvenes de esta población dedica entre 100 y 200 minutos a las redes sociales? [1 punto]

b) Juan es del 10 % de jóvenes que más tiempo dedica a las redes sociales. ¿Cuántos minutos les dedica? [1 punto]

Datos de la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,38})=\mathrm{0,6480}$, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,8997}$, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,00})=\mathrm{0,9772}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dedica}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La variable $X$ que mide los minutos diarios dedicados a las redes sociales sigue una distribución normal de media 116 minutos y desviación típica 42 minutos.

$X\sim N(116;42)$

Para poder usar la tabla se tipifica la variable, es decir, se pasa a la normal estándar restando la media y dividiendo entre la desviación típica.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-116}{42}}\sim N(0,1)$

$P(100<X<200)=P({\displaystyle \frac{100-116}{42}}<Z<{\displaystyle \frac{200-116}{42}})$

$P(100<X<200)=P(-\mathrm{0,38}<Z<\mathrm{2,00})$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos funciones de distribución, y el valor negativo se obtiene por la simetría de la campana.

$P(-\mathrm{0,38}<Z<\mathrm{2,00})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,00})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,38})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,00})-(1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,38}))$

$P(-\mathrm{0,38}<Z<\mathrm{2,00})=\mathrm{0,9772}-(1-\mathrm{0,6480})=\mathrm{0,9772}-\mathrm{0,3520}$

$P(100<X<200)=\mathrm{0,6252}$

El 62,52 % de los jóvenes de esa población dedica entre 100 y 200 minutos diarios a las redes sociales.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Juan}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{dedica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{dedica?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se conoce la probabilidad y se busca el valor de la variable: el tiempo $k$ a partir del cual queda el 10 % de los jóvenes que más tiempo dedican a las redes.

$P(X>k)=\mathrm{0,10}\Rightarrow P(X\le k)=1-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,90}$

Se tipifica y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja por debajo esa probabilidad.

$P(Z\le {\displaystyle \frac{k-116}{42}})=\mathrm{0,90}$

El dato de la tabla que da el enunciado, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,8997}$, es el más próximo a 0,90, de modo que se toma $z=\mathrm{1,28}$.

${\displaystyle \frac{k-116}{42}}=\mathrm{1,28}\Rightarrow k=116+\mathrm{1,28}\cdot 42$

$k=116+\mathrm{53,76}=\mathrm{169,76}\text{ minutos}$

Juan dedica a las redes sociales unos 169,76 minutos al día, es decir, algo menos de dos horas y cincuenta minutos.