Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Para valorar una nueva propuesta de movilidad sostenible en el área central de Asturias, se encarga un sondeo de opinión realizado sobre 500 personas seleccionadas al azar. A partir del sondeo, se estima la proporción de población a favor de la propuesta mediante un intervalo al 95 %: $(\mathrm{0,52};\mathrm{0,60})$.

a) Determine la proporción muestral de población a favor de la propuesta y el error máximo de estimación que se comete con este intervalo. [1 punto]

b) A partir del intervalo de confianza, ¿cree que los responsables políticos pueden estar seguros de que la mayoría de la población apoya la propuesta? Explique su respuesta. [0,5 puntos]

c) Si los responsables políticos quieren que el error sea inferior al 1 %, ¿cómo debería variar el tamaño de la muestra? Justifique la respuesta basándose en la relación entre el error y el tamaño muestral. Si se mantuviera el nivel de confianza al 95 % y la proporción muestral siguiera siendo la misma, ¿cuál debería ser el nuevo tamaño de la muestra para que el error máximo no supere el 1 %? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,90}$; $F(\mathrm{1,64})=\mathrm{0,95}$; $F(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$; $F(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,99}$; $F(\mathrm{2,58})=\mathrm{0,995}$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha )100\mathrm{\%}$, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande (habitualmente se considera $n\ge 100$): $(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$, con $F(z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\alpha \mathrm{/}2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{propuesta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{comete}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{intervalo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El intervalo de confianza para una proporción está centrado en la proporción muestral y su semiamplitud es el error máximo de estimación:

$\widehat{p}=\frac{\mathrm{0,52}+\mathrm{0,60}}{2}=\mathrm{0,56}$

$E=\frac{\mathrm{0,60}-\mathrm{0,52}}{2}=\mathrm{0,04}$

La proporción muestral a favor es del $56\mathrm{\%}$ y el error máximo, de $\mathrm{0,04}$, es decir, $4$ puntos porcentuales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cree}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{responsables}}\mathbf{\text{pol}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{seguros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mayor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{apoya}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{propuesta?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

«La mayoría» significa una proporción mayor que $\mathrm{0,5}$. El intervalo obtenido es $(\mathrm{0,52};\mathrm{0,60})$, y su extremo inferior ya supera ese valor:

$\mathrm{0,52}>\mathrm{0,50}$

Todo el intervalo queda por encima del 50 %, de modo que sí: con el 95 % de confianza los responsables pueden afirmar que la propuesta cuenta con el apoyo de la mayoría. Conviene matizar que «seguros» no es la palabra exacta —siempre queda un 5 % de riesgo de que el intervalo no contenga la proporción real—, pero la evidencia es suficiente al nivel de confianza fijado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{quieren}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{¿c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{variar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La relación entre el error y el tamaño muestral es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}$

El tamaño aparece dentro de una raíz cuadrada y en el denominador, así que $\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aumentarlo}}$, y bastante: para dividir el error entre 4 —de 0,04 a 0,01— hace falta multiplicar $n$ por $4^2=16$. La mejora de la precisión es cara, porque va con la raíz.

Despejando el tamaño con $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, $\widehat{p}=\mathrm{0,56}$ y $E=\mathrm{0,01}$:

$n\ge \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^2\widehat{p}(1-\widehat{p})}{E^2}=\frac{{\mathrm{1,96}}^2\cdot \mathrm{0,56}\cdot \mathrm{0,44}}{{\mathrm{0,01}}^2}=\frac{\mathrm{3,8416}\cdot \mathrm{0,2464}}{\mathrm{0,0001}}$

$n\ge \mathrm{9465,7}$

Como el tamaño ha de ser entero y la desigualdad es «al menos», se redondea hacia arriba:

$n=9466\text{ personas}$

Habría que encuestar a unas $9466$ personas, casi diecinueve veces las 500 del sondeo original.