Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una de las atracciones hay dos tipos de pases, el pase VIP y el normal; sus precios son, respectivamente, $x$ e $y$. Un grupo de personas pagó, en total, 90 € cuando compró un pase VIP y tres pases normales, mientras que otro grupo de personas pagó $15m$ € por comprar dos pases VIP y $m$ pases normales. Para determinar el precio de cada pase, se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+3y=90\\ 2x+my=15m\end{array}$

a) Si $m=15$, ¿cuál fue el precio de cada tipo de pase? [1 punto]

b) Proporcione un valor de $m$ para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. Justifique su respuesta. [1 punto]

c) ¿Para qué valor de $m$ el sistema no tiene solución? Justifique su respuesta. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{15,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pase?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con $m=15$ el sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& 3y& =& 90\\ 2x& +& 15y& =& 225\end{array}$

Se despeja de la primera, $x=90-3y$, y se sustituye en la segunda:

$2(90-3y)+15y=225\Rightarrow 180-6y+15y=225\Rightarrow 9y=45\Rightarrow y=5$

$x=90-15=75$

El pase VIP costó $75$ € y el normal, $5$ €. Se comprueban las dos compras: $75+3\cdot 5=90$ y $2\cdot 75+15\cdot 5=225=15\cdot 15$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Proporcione}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{carezca}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene resolver el sistema en general. De la primera ecuación, $x=90-3y$, y sustituyendo:

$2(90-3y)+my=15m\Rightarrow 180-6y+my=15m\Rightarrow y(m-6)=15m-180$

$y=\frac{15(m-12)}{m-6}x=90-3y=\frac{45m}{m-6}$

válido siempre que $m\mathrm{\ne }6$. Ahora basta elegir un valor que dé un precio negativo, cosa que ocurre cuando $6<m<12$, porque entonces el numerador de $y$ es negativo y el denominador positivo.

Por ejemplo, con $\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{10}}$:

$y=\frac{15(10-12)}{10-6}=\frac{-30}{4}=-\mathrm{7,5}x=\frac{450}{4}=\mathrm{112,5}$

El sistema tiene solución única, pero el pase normal saldría a $-\mathrm{7,5}$ €. Un precio negativo no tiene ningún sentido —significaría que la feria paga por entrar—, así que ese valor de $m$ hay que descartarlo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema deja de tener solución única cuando se anula el determinante de la matriz de coeficientes:

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 2& m\end{array}\mid =m-6=0\Rightarrow m=6$

Y con $m=6$ el sistema es incompatible, como se ve en la expresión general: la ecuación queda

$y(6-6)=15\cdot 6-180\Rightarrow 0=-90$

que es imposible. Dicho de otro modo, la segunda ecuación sería $2x+6y=90$, es decir, $x+3y=45$, en contradicción con la primera, que exige $x+3y=90$: los mismos pases no pueden costar 90 € y 45 € a la vez.

Para $m=6$, por tanto, no hay ningún par de precios compatible con los dos datos.