Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema de ecuaciones siguiente, con incógnitas $x$ e $y$:

$\{\begin{array}{l}x-y=-m\\ 10x+(10+m)y=150\end{array}$

a) ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema tiene una única solución? [1,5 puntos]

b) Si el sistema fuera $\{\begin{array}{l}x-y=-\lambda \\ 10x+(10+m)y=150\end{array}$, encuentre el valor de $m$ y un valor de $\lambda$ para los que el sistema tenga infinitas soluciones y calcule una de ellas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}x& -& y& =& -m\\ 10x& +& (10+m)y& =& 150\end{array}$

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene solución única exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 10& 10+m\end{array}\mid =(10+m)+10=20+m$

$20+m\mathrm{\ne }0⟺m\mathrm{\ne }-20$

De modo que el sistema es compatible determinado para $\mathbf{\text{cualquier}}m\mathrm{\ne }-20$.

Merece la pena ver qué ocurre con $m=-20$, aunque no lo pida el apartado. El sistema queda

$\{\begin{array}{rcl}x-y& =& 20\\ 10x-10y& =& 150\end{array}$

y la segunda ecuación equivale a $x-y=15$, que contradice a la primera: para ese valor el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{enunciado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{λ,}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{λ}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el término independiente de la primera ecuación es $-\lambda$, independiente de $m$:

$\{\begin{array}{rcl}x-y& =& -\lambda \\ 10x+(10+m)y& =& 150\end{array}$

Para que haya infinitas soluciones hacen falta dos cosas. La primera, que el determinante se anule, lo que como antes exige

$m=-20$

Con ese valor la segunda ecuación es $10x-10y=150$, es decir, $x-y=15$. La segunda condición es que la primera ecuación sea la misma, y eso obliga a

$-\lambda =15\Rightarrow \lambda =-15$

Con $m=-20$ y $\lambda =-15$ el sistema se reduce a la única ecuación $x-y=15$, que tiene infinitas soluciones:

$(x,y)=(15+t,t),t\in \mathbb{R}$

Una de ellas, tomando $t=0$, es $(x,y)=(15,0)$; otra, con $t=5$, sería $(20,5)$. Se comprueba la primera en las dos ecuaciones: $15-0=15$ y $10\cdot 15-10\cdot 0=150$.