Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Para fabricar coches necesitamos, de un proveedor, tres tipos de componentes diferentes:

— Alternador: cada uno pesa 6 kg, tiene un volumen de 80 litros y un precio de 120 €.

— Bomba de combustible: cada una pesa 2 kg, tiene un volumen de 2 litros y un precio de 40 €.

— Caja de cambios: cada una pesa 50 kg, tiene un volumen de 40 litros y un precio de 800 €.

a) Nos envían un pedido que solo contiene alternadores y cajas de cambios, que tiene una carga con un volumen total de 44 800 litros, y por la cual nos han facturado 230 000 €. ¿Cuántos alternadores nos han enviado? [1,5 puntos]

b) En el pedido siguiente, dado que cada coche necesita un componente de cada tipo, nos envían ahora el mismo número de alternadores, de bombas de combustible y de cajas de cambios. Su carga tiene un peso total de 24 360 kg, y un volumen total de 51 240 litros. ¿Cuántos alternadores nos han enviado? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Nos}}\mathbf{\text{env}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pedido}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{alternadores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cambios,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{44}}\mathbf{\text{800}}\mathbf{\text{litros,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{facturado}}\mathbf{\text{230}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{alternadores}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{enviado?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de alternadores e $y$ al número de cajas de cambios del pedido. Cada alternador ocupa 80 litros y cuesta 120 €; cada caja de cambios ocupa 40 litros y cuesta 800 €. Con el volumen y el importe totales se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$\{\begin{array}{l}80x+40y=44800\\ 120x+800y=230000\end{array}$

Se simplifican las dos ecuaciones dividiendo la primera entre 40 y la segunda entre 40 también.

$\{\begin{array}{l}2x+y=1120\\ 3x+20y=5750\end{array}$

Se despeja $y$ en la primera ecuación y se sustituye en la segunda.

$y=1120-2x\Rightarrow 3x+20(1120-2x)=5750$

$3x+22400-40x=5750\Rightarrow -37x=-16650$

$x={\displaystyle \frac{16650}{37}}=450\Rightarrow y=1120-900=220$

Comprobamos que los dos datos del enunciado se cumplen.

$80\cdot 450+40\cdot 220=36000+8800=44800\text{ litros}$

$120\cdot 450+800\cdot 220=54000+176000=230000\text{ €}$

En ese pedido nos han enviado 450 alternadores, junto con 220 cajas de cambios.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pedido}}\mathbf{\text{siguiente,}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{coche}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{componente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo,}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{env}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alternadores,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bombas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{combustible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cambios.}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{360}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{51}}\mathbf{\text{240}}\mathbf{\text{litros.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{alternadores}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{enviado?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora las tres cantidades son iguales, de modo que basta una sola incógnita: llamamos $n$ al número de unidades de cada tipo. Cada coche se lleva un alternador (6 kg y 80 litros), una bomba (2 kg y 2 litros) y una caja de cambios (50 kg y 40 litros).

$\{\begin{array}{l}6n+2n+50n=24360\\ 80n+2n+40n=51240\end{array}$

$\{\begin{array}{l}58n=24360\\ 122n=51240\end{array}$

Cada una de las dos ecuaciones basta por sí sola para despejar la incógnita.

$n={\displaystyle \frac{24360}{58}}=420$

$n={\displaystyle \frac{51240}{122}}=420$

Los dos datos conducen al mismo valor, de manera que el sistema es compatible determinado y el peso y el volumen se confirman el uno al otro.

En este segundo pedido nos han enviado 420 alternadores, y con ellos otras 420 bombas de combustible y 420 cajas de cambios, lo justo para montar 420 coches.