Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

El Consejo Escolar de Canarias organiza una reunión de organizaciones estudiantiles en la que participan un total de 240 estudiantes elegidos entre los niveles de Primaria, ESO y el Bachillerato. El número de estudiantes de primaria es la quinta parte del resto y por cada 3 estudiantes de ESO hay 2 de Bachillerato.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿Cuántos estudiantes de cada nivel asisten a la reunión? [1 punto]

c) Para trasladar al alumnado al encuentro se ha acordado con una empresa de guaguas la siguiente lista de precios: cada persona de la ESO paga una tarifa de 2.50 euros; los de Bachillerato pagan un 50% más que los de la ESO; y los de Primaria tienen un descuento del 20% sobre el precio que pagan los de la ESO. De los que van a la reunión sólo irán en guagua 25 estudiantes de primaria, 80 de la ESO y 50 estudiantes de Bachillerato. ¿Cuánto habrá que pagar en total? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos:

$x\equiv$ número de estudiantes de Primaria

$y\equiv$ número de estudiantes de la ESO

$z\equiv$ número de estudiantes de Bachillerato

La primera ecuación recoge que en total participan 240 estudiantes.

$x+y+z=240$

La segunda dice que los de Primaria son la quinta parte del resto, es decir, de los de la ESO y Bachillerato juntos.

$x={\displaystyle \frac{y+z}{5}}\Rightarrow 5x-y-z=0$

La tercera traduce la proporción de 3 estudiantes de la ESO por cada 2 de Bachillerato.

${\displaystyle \frac{y}{z}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow 2y-3z=0$

El sistema es:

$\begin{array}{r}x+y+z=240\\ 5x-y-z=0\\ 2y-3z=0\end{array}\}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{asisten}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reuni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Sumando las dos primeras ecuaciones desaparecen a la vez $y$ y $z$.

$6x=240\Rightarrow x=40$

Con ese valor, la primera ecuación deja la suma de los otros dos niveles.

$y+z=240-40=200$

De la tercera se despeja $y$ en función de $z$ y se sustituye.

$y={\displaystyle \frac{3z}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3z}{2}}+z=200\Rightarrow {\displaystyle \frac{5z}{2}}=200$

$z=80,y={\displaystyle \frac{3\cdot 80}{2}}=120$

A la reunión asisten 40 estudiantes de Primaria, 120 de la ESO y 80 de Bachillerato. Se comprueban las tres condiciones: suman 240, los de Primaria son la quinta parte de $120+80=200$, y ${\displaystyle \frac{120}{80}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{trasladar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{encuentro}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{acordado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{guaguas}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{lista}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{precios:}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ESO}}\mathbf{\text{paga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tarifa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2.50}}\mathbf{\text{euros;}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bachillerato}}\mathbf{\text{pagan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{50\%}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ESO;}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Primaria}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{descuento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pagan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ESO.}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{van}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reuni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{ir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{guagua}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{primaria,}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ESO}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bachillerato.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pagar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se calculan las tres tarifas a partir de la de la ESO.

$\text{ESO}:\mathrm{2,50}\text{ €}$

$\text{Bachillerato}:\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{1,50}=\mathrm{3,75}\text{ €}$

$\text{Primaria}:\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{0,80}=\mathrm{2,00}\text{ €}$

Después se multiplica cada tarifa por el número de estudiantes que viajan en guagua y se suma.

$25\cdot \mathrm{2,00}+80\cdot \mathrm{2,50}+50\cdot \mathrm{3,75}$

$=50+200+\mathrm{187,50}=\mathrm{437,50}$

El transporte de los 155 estudiantes que viajan en guagua costará $\mathrm{437,50}\text{ €}$ en total.