Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una heladería solo venden tres tipos de helados: de nata, de fresa y de chocolate y no se pueden mezclar los sabores. Cierto día, tres amigos se tomaron, cada uno, un solo helado, pero de diferente sabor. Entregaron un billete de 10 € y les devolvieron dos monedas de 1 € y una de 2 €. Además, uno de ellos se dio cuenta de que 4 helados de nata y 2 de fresa costaban lo mismo que 4 de chocolate y que cada helado de fresa valía 50 céntimos menos que uno de chocolate. Calcule el precio de cada tipo de helado. [3 puntos]

Llamamos $x$ al precio en euros del helado de nata, $y$ al del de fresa y $z$ al del de chocolate.

Los tres amigos entregan un billete de 10 euros y reciben de vuelta $2\cdot 1+2=4$ euros, luego los tres helados, uno de cada sabor, han costado en total

$x+y+z=10-4=6$

Cuatro helados de nata y dos de fresa cuestan lo mismo que cuatro de chocolate:

$4x+2y=4z$

Cada helado de fresa vale 50 céntimos menos que uno de chocolate:

$y=z-\mathrm{0,5}$

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 4x+2y=4z\\ y=z-\mathrm{0,5}\end{array}$

Se resuelve por sustitución. La segunda ecuación se simplifica dividiendo entre 2 y en ella se sustituye $y$ por su valor en función de $z$.

$2x+y=2z\Rightarrow 2x+z-\mathrm{0,5}=2z\Rightarrow 2x=z+\mathrm{0,5}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{z+\mathrm{0,5}}{2}}$

Llevando ahora $x$ e $y$ a la primera ecuación queda una sola incógnita.

${\displaystyle \frac{z+\mathrm{0,5}}{2}}+(z-\mathrm{0,5})+z=6\Rightarrow z+\mathrm{0,5}+2z-1+2z=12$

$5z=\mathrm{12,5}\Rightarrow z=\mathrm{2,5}$

$y=\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}=2x={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}+\mathrm{0,5}}{2}}=\mathrm{1,5}$

Se comprueban las tres condiciones: $\mathrm{1,5}+2+\mathrm{2,5}=6$, $4\cdot \mathrm{1,5}+2\cdot 2=10=4\cdot \mathrm{2,5}$ y $2=\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}$.

El helado de nata cuesta 1,50 euros, el de fresa 2 euros y el de chocolate 2,50 euros.