Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción A. Para celebrar el cumpleaños de Bruno, Carmen quiere invitar a merendar a sus amigos en la Pizzería La Romana. Esta pizzería ofrece tres tipos de pizzas: de base fina, de base gruesa y de base rellena de queso. El precio de la pizza de base rellena de queso es 2 euros más que el de las otras dos juntas. Si encarga 6 pizzas de base gruesa se gasta lo mismo que encargando 4 pizzas de base rellena de queso. Y si pide 3 pizzas de base fina, 3 de base gruesa y 7 de base rellena de queso se gastará 204 euros.

a) Plantee el sistema de ecuaciones que le permita averiguar a Carmen cuánto cuesta cada tipo de pizza. [1 punto]

b) Resuelva razonadamente el sistema planteado. [1 punto]

Llamamos $x$ al precio de la pizza de base fina, $y$ al de la de base gruesa y $z$ al de la de base rellena de queso, los tres en euros.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{averiguar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Carmen}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pizza.}}(1\text{ punto})$

La primera condición dice que la rellena de queso cuesta dos euros más que las otras dos juntas.

$z=x+y+2$

La segunda iguala el gasto de seis pizzas de base gruesa y el de cuatro de base rellena.

$6y=4z$

La tercera recoge el pedido de tres, tres y siete pizzas por $204$ euros.

$3x+3y+7z=204$

El sistema, ordenado, queda así:

$\{\begin{array}{l}x+y-z=-2\\ 6y-4z=0\\ 3x+3y+7z=204\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado.}}(1\text{ punto})$

Se resuelve por sustitución, que aquí es lo más corto. De la segunda ecuación se despeja $z$ en función de $y$.

$6y=4z\Rightarrow z={\displaystyle \frac{3y}{2}}$

Se lleva a la primera ecuación para despejar también $x$.

$x=z-y-2={\displaystyle \frac{3y}{2}}-y-2={\displaystyle \frac{y}{2}}-2$

Ahora se sustituyen las dos en la tercera ecuación.

$3({\displaystyle \frac{y}{2}}-2)+3y+7\cdot {\displaystyle \frac{3y}{2}}=204$

${\displaystyle \frac{3y}{2}}-6+3y+{\displaystyle \frac{21y}{2}}=204\Rightarrow 15y=210\Rightarrow y=14$

$z={\displaystyle \frac{3\cdot 14}{2}}=21;x={\displaystyle \frac{14}{2}}-2=5$

Se comprueba en la tercera ecuación: $3\cdot 5+3\cdot 14+7\cdot 21=15+42+147=204$.

La pizza de base fina cuesta $5$ euros, la de base gruesa $14$ euros y la de base rellena de queso $21$ euros.