Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4B) Sea el sistema lineal dependiente del parámetro real $b$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+by+z=b+3\\ x+y+bz=4\end{array}$

(a) (0,5 puntos) Escribe el sistema en forma matricial y calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro $b$.
(b) (0,25 puntos) Di para qué valores de $b$ la matriz de coeficientes es invertible.
(c) (0,75 puntos) Estudia el sistema según los valores de $b$, indicando cuándo tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.
(d) (0,5 puntos) Resuelve el sistema para $b=0$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{matricial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coeficientes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}$

La forma matricial de un sistema separa los coeficientes, las incógnitas y los términos independientes en tres matrices:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& b& 1\\ 1& 1& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ b+3\\ 4\end{array}\right)$

El determinante de la matriz de coeficientes se calcula desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& b& 1\\ 1& 1& b\end{array}\mid =1\cdot (b\cdot b-1\cdot 1)-1\cdot (2\cdot b-1\cdot 1)+1\cdot (2\cdot 1-b\cdot 1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=b^2-1-2b+1+2-b=b^2-3b+2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(b-1)(b-2)$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Di}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{b}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coeficientes}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero:

$(b-1)(b-2)\mathrm{\ne }0\Rightarrow b\mathrm{\ne }1\text{ y }b\mathrm{\ne }2$

La matriz de coeficientes es invertible para cualquier valor real de $b$ salvo $b=1$ y $b=2$.

$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{b}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica,}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas, que es 3.

i) Si $b\mathrm{\ne }1$ y $b\mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula, de modo que los dos rangos valen 3:

$\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M^{\ast })=3=n\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

ii) Si $b=1$, el sistema queda así:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+y+z=4\\ x+y+z=4\end{array}$

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, luego se contradicen. Formalmente, el rango de la matriz de coeficientes es 2, porque hay un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

y el de la ampliada es 3, porque este menor de orden tres no se anula:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& 1& 4\\ 1& 1& 4\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(M)=2\mathrm{\ne }\mathrm{rg}(M^{\ast })=3\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

iii) Si $b=2$, el sistema queda así:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+2y+z=5\\ x+y+2z=4\end{array}$

Restando a la segunda ecuación el doble de la primera se obtiene un valor de $z$, y restando a la tercera la primera, otro distinto:

$-z=5-12\Rightarrow z=7$

$z=4-6\Rightarrow z=-2$

Las dos conclusiones son incompatibles, así que el sistema tampoco tiene solución en este caso.

En resumen: el sistema es compatible determinado, con solución única, para todo $b\mathrm{\ne }1$ y $b\mathrm{\ne }2$, y es incompatible para $b=1$ y para $b=2$. No hay ningún valor del parámetro que dé infinitas soluciones.



Como $b=0$ no es ninguno de los dos valores problemáticos, el sistema es compatible determinado. Sustituyendo:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x+z=3\\ x+y=4\end{array}$

De la tercera ecuación se despeja $y$ y se lleva a la primera:

$y=4-x$

$x+(4-x)+z=6\Rightarrow z=2$

Con ese valor, la segunda ecuación da la incógnita que falta:

$2x+2=3\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y=4-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$

La solución del sistema para $b=0$ es $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $y={\displaystyle \frac{7}{2}}$, $z=2$.