Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Las variables $x$ e $y$ representan los fondos (en millones de euros) que un ayuntamiento va a dedicar, respectivamente, a créditos para autónomos y a ayudas a polígonos industriales. Las normas de gasto imponen algunas restricciones, que se pueden modelar con el siguiente sistema de ecuaciones ($k$ es un parámetro que depende del crecimiento económico):

$\{\begin{array}{l}3x+4y=24\\ 5x-ky=12\end{array}$

a) ¿Es posible que, para algún valor de $k$, el ayuntamiento no encuentre solución en $x$ e $y$? Si es posible, halle ese valor $k$. [1 punto]

b) Si $k=-3$, ¿cuántas soluciones existen para este sistema? Calcúlelas y explique si tienen sentido en el contexto del problema. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{k,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ayuntamiento}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{k.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}3x& +& 4y& =& 24\\ 5x& -& ky& =& 12\end{array}$

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas solo puede dejar de tener solución si el determinante de la matriz de coeficientes se anula:

$\mid \begin{array}{cc}3& 4\\ 5& -k\end{array}\mid =-3k-20=0\Rightarrow k=-\frac{20}{3}$

Con ese valor las dos ecuaciones tienen los coeficientes proporcionales, y hay que ver si los términos independientes siguen la misma proporción. La segunda ecuación queda

$5x+\frac{20}{3}y=12$

y si se multiplica la primera por $5\mathrm{/}3$ resulta

$5x+\frac{20}{3}y=40$

El primer miembro es el mismo, pero uno vale 12 y el otro 40: las ecuaciones son contradictorias.

Sí es posible, por tanto: para $k=-{\displaystyle \frac{20}{3}}$ el sistema es incompatible y el ayuntamiento no encontraría ningún reparto que cumpliera las dos normas a la vez.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{k}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-3,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{existen}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{sistema?}}\mathbf{\text{Calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lelas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con $k=-3$ el determinante vale

$-3(-3)-20=9-20=-11\mathrm{\ne }0$

así que el sistema es compatible determinado: existe una $\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}$ solución. El sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}3x& +& 4y& =& 24\\ 5x& +& 3y& =& 12\end{array}$

Se resuelve por reducción, multiplicando la primera por 3 y la segunda por 4:

$\{\begin{array}{rcrcl}9x& +& 12y& =& 72\\ 20x& +& 12y& =& 48\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$11x=-24\Rightarrow x=-\frac{24}{11}=-\mathrm{2,18}$

y sustituyendo en la primera:

$4y=24-3(-\frac{24}{11})=24+\frac{72}{11}=\frac{336}{11}\Rightarrow y=\frac{84}{11}=\mathrm{7,64}$

La solución única es $(x,y)=(-\frac{24}{11},\frac{84}{11})\approx (-\mathrm{2,18};\mathrm{7,64})$.

Y no, $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{sentido}}$ en el contexto del problema: $x$ representa los millones de euros destinados a créditos para autónomos, y sale negativo. No se puede dedicar una cantidad negativa de dinero a una partida, de modo que con $k=-3$ el modelo, aun teniendo solución matemática, no ofrece un reparto realizable. El ayuntamiento tendría que revisar las condiciones de gasto.