Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1800 €. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1000 €. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1560 €.

a) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida. [2,25 puntos]

b) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{[2,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al precio de la entrada Estándar, $y$ al de la Premium y $z$ al de la VIP, los tres en euros. Cada sesión aporta una ecuación con la recaudación que se obtuvo en ella.

En la sesión inaugural se vendieron 20 entradas Estándar, 5 Premium y 20 VIP:

$20x+5y+20z=1800$

En la sesión nocturna se vendieron 10 Estándar, 5 Premium y 10 VIP:

$10x+5y+10z=1000$

En la clausura hubo 12 VIP y 4 Estándar, y el número de entradas Premium superó en 4 a ese resto, luego se vendieron $12+4+4=20$ entradas Premium:

$4x+20y+12z=1560$

Reunimos las tres ecuaciones y simplificamos cada una dividiéndola por el factor común de sus coeficientes:

$\{\begin{array}{l}20x+5y+20z=1800\\ 10x+5y+10z=1000\\ 4x+20y+12z=1560\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x+y+4z=360\\ 2x+y+2z=200\\ x+5y+3z=390\end{array}$

Restamos la segunda ecuación de la primera, con lo que desaparece $y$:

$(4x+y+4z)-(2x+y+2z)=360-200\Rightarrow 2x+2z=160\Rightarrow x+z=80$

Sustituimos $x+z=80$ en la segunda ecuación para obtener el precio de la entrada Premium:

$2(x+z)+y=200\Rightarrow 160+y=200\Rightarrow y=40$

Llevamos $y=40$ a la tercera ecuación:

$x+5\cdot 40+3z=390\Rightarrow x+3z=190$

y la resolvemos junto con $x+z=80$:

$(x+3z)-(x+z)=190-80\Rightarrow 2z=110\Rightarrow z=55\Rightarrow x=80-55=25$

La recaudación total es la suma de la de las tres sesiones:

$1800+1000+1560=4360$

La entrada Estándar cuesta 25 €, la Premium 40 € y la VIP 55 €, y la recaudación total del festival fue de 4360 €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Contamos cuántas entradas de cada tipo se vendieron en total y multiplicamos por su precio.

Entradas Estándar:

$(20+10+4)\cdot 25=34\cdot 25=850$

Entradas Premium:

$(5+5+20)\cdot 40=30\cdot 40=1200$

Entradas VIP:

$(20+10+12)\cdot 55=42\cdot 55=2310$

Las tres cantidades suman $850+1200+2310=4360$ euros, que es la recaudación total obtenida en el apartado anterior.

La mayor recaudación se obtuvo con las entradas VIP, y ascendió a 2310 €.