Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un grupo de niños de una clase han reunido, para vender en el mercadillo solidario de su colegio, objetos de tres tipos: imanes para nevera, bolas navideñas y llaveros. Cada imán lo han vendido a 1 euro, cada bola navideña, a 1,50 euros y cada llavero, a 2 euros. Han vendido todos los objetos que habían reunido y de dicha venta han obtenido un total de 87 euros. El número de bolas navideñas representaba el 80 % del número de imanes; con la venta de las bolas de Navidad han obtenido 2 euros menos que con la venta de los llaveros. Calcula el número de objetos de cada tipo (imanes, bolas y llaveros) que han vendido. (2 puntos)

Se llama $x$ al número de imanes, $y$ al de bolas navideñas y $z$ al de llaveros vendidos. Se ordena en una tabla el precio de cada objeto y la recaudación que aporta.

$\text{Objeto}$	$\text{Unidades}$	$\text{Precio (euros)}$	$\text{Recaudaci}\acute{\text{o}}\text{n}$
Imanes	$x$	$1$	$x$
Bolas navideñas	$y$	$\mathrm{1,5}$	$\mathrm{1,5}y$
Llaveros	$z$	$2$	$2z$
Total			$87$

Se traduce a ecuaciones cada condición del enunciado.

Con la venta de todos los objetos se obtuvieron 87 euros:

$x+\mathrm{1,5}y+2z=87$

El número de bolas era el 80 % del de imanes:

$y=\mathrm{0,8}x$

Con las bolas se obtuvieron 2 euros menos que con los llaveros:

$\mathrm{1,5}y=2z-2$

Conviene empezar por la tercera, porque permite escribir $2z$ en función de $y$ y sustituirlo en la primera:

$2z=\mathrm{1,5}y+2$

$x+\mathrm{1,5}y+\mathrm{1,5}y+2=87\Rightarrow x+3y=85$

De la segunda ecuación se despeja $x$ en función de $y$:

$y=\mathrm{0,8}x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{y}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{1,25}y$

$\mathrm{1,25}y+3y=85\Rightarrow \mathrm{4,25}y=85\Rightarrow y=20$

$x=\mathrm{1,25}\cdot 20=25;2z=\mathrm{1,5}\cdot 20+2=32\Rightarrow z=16$

Se comprueba la recaudación: $25+\mathrm{1,5}\cdot 20+2\cdot 16=25+30+32=87$.

Los niños han vendido 25 imanes, 20 bolas navideñas y 16 llaveros.