Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En el mercado de Olmedo, por cinco corderos y un puerco me dan 26 ducados; por tres corderos, tres puercos y un ternero me dan 38 ducados, y si les doy dos de cada clase me dan 36 ducados.

¿Cuántos ducados me dan por cada cordero, puerco y ternero? (2.5 puntos)

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{ducados}}\mathbf{\text{me}}\mathbf{\text{dan}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{cordero,}}\mathbf{\text{puerco}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ternero?}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se llama $c$ a los ducados que dan por un cordero, $p$ a los que dan por un puerco y $t$ a los que dan por un ternero.

Cada una de las tres frases del enunciado es una ecuación:

$5c+p=26$

$3c+3p+t=38$

$2c+2p+2t=36$

La tercera se simplifica dividiendo entre 2, con lo que el sistema queda

$\{\begin{array}{l}5c+p=26\\ 3c+3p+t=38\\ c+p+t=18\end{array}$

Se despeja $p$ de la primera ecuación y $t$ de la tercera:

$p=26-5c$

$t=18-c-p=18-c-(26-5c)=4c-8$

Se sustituyen las dos en la segunda ecuación:

$3c+3(26-5c)+(4c-8)=38$

$3c+78-15c+4c-8=38\Rightarrow -8c+70=38$

$-8c=-32\Rightarrow c=4$

$p=26-20=6;t=16-8=8$

Se comprueban las tres condiciones: $5\cdot 4+6=26$; $12+18+8=38$; $8+12+16=36$.

Por cada cordero dan 4 ducados, por cada puerco 6 y por cada ternero 8.