Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Resuelve el sistema lineal

$\{\begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ x+y+3z=4\\ 2x-3y+z=8\end{array}$ (1.75 puntos)

¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones? (0.75 puntos)

$\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{(1.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se resuelve por reducción. Sumando la primera y la segunda ecuación desaparece la incógnita $y$:

$\{\begin{array}{l}3x-y-2z=5\\ x+y+3z=4\end{array}\Rightarrow 4x+z=9$

Para eliminar de nuevo $y$ se multiplica la segunda ecuación por 3 y se le suma la tercera:

$\{\begin{array}{l}3x+3y+9z=12\\ 2x-3y+z=8\end{array}\Rightarrow 5x+10z=20\Rightarrow x+2z=4$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera se despeja $z$:

$z=9-4x$

$x+2(9-4x)=4\Rightarrow x+18-8x=4\Rightarrow -7x=-14\Rightarrow x=2$

$z=9-8=1;y=4-x-3z=4-2-3=-1$

Se comprueba la solución en la primera y la tercera ecuación: $6+1-2=5$; $4+3+1=8$.

La solución del sistema es $x=2$, $y=-1$, $z=1$; es un sistema compatible determinado.

$\mathbf{\text{¿Por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sustituir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coeficiente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{resultara}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{soluciones?}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se llama $k$ al coeficiente que sustituye al 3 y se estudia el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Para que no tenga solución el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que el de la ampliada, y lo primero que hay que exigir es que el determinante se anule.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}k& -1& -2\\ 1& 1& 3\\ 2& -3& 1\end{array}\mid =k(1+9)+1(1-6)-2(-3-2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=10k-5+10=10k+5$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 10k=-5\Rightarrow k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Que el determinante se anule solo garantiza que el sistema no es compatible determinado; falta comprobar que para ese valor es incompatible y no indeterminado. La matriz de coeficientes tiene rango 2, porque el menor formado por las dos últimas filas y las dos primeras columnas no es nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -3\end{array}\mid =-3-2=-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{rg}(A)=2$

En la matriz ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& -2& 5\\ 1& 3& 4\\ -3& 1& 8\end{array}\mid =-1(24-4)+2(8+12)+5(1+9)=-20+40+50=70\mathrm{\ne }0$

$\text{rg}(A)=2<3=\text{rg}(A^{\ast })$

El sistema es entonces incompatible. Habría que sustituir el coeficiente 3 por $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.