Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La asociación «Stop Stress» tiene 60 personas asociadas que practican solo una de las siguientes actividades: correr, yoga o natación. Se sabe que hay 18 personas menos en la actividad de correr que la suma de personas que practican yoga y natación. Además, la séptima parte de las personas que corren es igual a la quinta parte de las que practican yoga.

Calcular el número de personas que realiza cada una de las actividades. (3 puntos)

Se llama $x$ al número de personas que corren, $y$ a las que practican yoga y $z$ a las que practican natación.

La asociación tiene 60 personas y cada una practica solo una actividad:

$x+y+z=60$

Hay 18 personas menos corriendo que la suma de las que hacen yoga y natación:

$x=(y+z)-18$

Y la séptima parte de las que corren es igual a la quinta parte de las que hacen yoga:

${\displaystyle \frac{x}{7}}={\displaystyle \frac{y}{5}}\Rightarrow 5x=7y$

Se reúnen las tres condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ x=y+z-18\\ 5x=7y\end{array}$

De la primera ecuación, $y+z=60-x$. Se sustituye en la segunda:

$x=(60-x)-18\Rightarrow x=42-x\Rightarrow 2x=42\Rightarrow x=21$

De la tercera:

$5\cdot 21=7y\Rightarrow 105=7y\Rightarrow y=15$

Y de la primera:

$z=60-21-15=24$

Se comprueban las tres condiciones: $21+15+24=60$; $15+24-18=21$; y ${\displaystyle \frac{21}{7}}=3={\displaystyle \frac{15}{5}}$.

Corren 21 personas, practican yoga 15 y natación 24.