Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Añadir una ecuación al sistema $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-y-z=0\end{array}$, de forma que el sistema resultante sea incompatible. (1 punto)

El sistema de partida tiene dos ecuaciones y tres incógnitas. Su matriz de coeficientes

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

tiene rango 2, porque el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

es distinto de cero. Como los dos rangos coinciden y valen 2, que es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Para que el sistema resultante sea incompatible hay que añadir una ecuación que NO aumente el rango de la matriz de coeficientes pero sí el de la ampliada. Es decir, una ecuación cuyo primer miembro sea combinación lineal de los de las dos ecuaciones dadas, pero con un término independiente que no encaje.

La forma más sencilla es repetir el primer miembro de la primera ecuación cambiando el término independiente:

$x+y+z=3$

Con ella el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-y-z=0\\ x+y+z=3\end{array}$

La primera y la tercera ecuación se contradicen: la misma expresión no puede valer a la vez 2 y 3. Formalmente,

$\text{rg}(A)=2\text{y}\text{rg}(A^{\ast })=3$

porque en la ampliada aparece el menor

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -1& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =1(-3-0)-1(3-0)+2(1+1)=-3-3+4=-2\mathrm{\ne }0$

Al ser $\text{rg}(A)\mathrm{\ne }\text{rg}(A^{\ast })$, el sistema es incompatible.

Cualquier otra ecuación del mismo tipo serviría, por ejemplo $2x=5$, que se obtiene sumando las dos ecuaciones dadas (lo que daría $2x=2$) y cambiando el término independiente.